Il existe done une fonction primitive qui est S

Il reste à démontrer qu'il y en a une infinité qui diffèrent les unes des autres par des constantes. En effet soit F (x) une fonction primitive de f (x). La différentielle de F (x) est f(x) d x.

Considérons la fonction F (x) +C, C étant une constante quelconque ; c'est une fonction primitive, car sa différentielle est

dIF (x +0] = dE. (x) = f(x) dx.

On voit donc que dès qu'on a une fonction primitive, on en a une cnfinité, la constante C étant quelconque.

On les a d'ailleurs toutes : en effet soit F (x) une fonction primitive de f(x) et supposons qu'il en exisite une autre ® (x); démontrons qu'elles ne peuvent différer que par une constante. Posons :

prenons la dérivée : la dérivée de ® (x) est f(x), la dérivée de F (x) est aussi f (x) on a donc

La dérivée de y étant nulle, d'après le Lemme du n° 206, y est constante.

On a donc Dr) —F(x) = CC", ou DATI RLIEE CF La fonction primitive ® (x) ne diffère donc de F {x) que par une constante. Le théorème ést démontré.

Il y a une infinité de fonctions F (x) qui ont f (x) pour dérivée ; toutes ces fonctions, de même dérivée, ne diffèrent de l’une d’elles que par une constante.

211. Remarque importante. — Il faut bien observer que la démonstration précédente suppose essentellement que la fonction f(x) reste finite de facon que les ordonnées de tous les points de la courbe représentée soient fines.

212. Théorème, — La fonction primitive du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de la fonction primitive de cette fonction par la constante.

Soit fx) une fonction et À une constante, démontrons que l’on a

À Af(x) dx — A f(x) dx.

Supposons que l’on ait

F (x) = | fx) dx

et considérons le produit AF (x); sa différentielle est

AR ET)] = ATP EE APE ES On a donc |

Airis [ Af (x) dx et par conséquent