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ont évidemment des tangentes parallèles et des pentes égales ' pour les points placés sur l;i même verticale. Nous résumons ce qui précède en disant que deux fonctions qui ont la même dérivée pour toutes les valeurs de la variable, ne diffèrent que par une constante.

Autrement dit, toutes les fonctions qui satisfont à la relation :

rentrent dans la forme générale : y où G est une constante arbitraire.

Fig. 9.

8. Étude d'une fonction au moyen de sa dérivée. Maximums et minimums, tangentes verticales.

/ '. — Nous ne pouvons calculer la dérivée que si la fonction est connue. Mais rien ne nous empêche de chercher à quoi peut servir la dérivée supposée connue. Le lecteur se reportera au § 3; le calcul

différentiel nous apprend, y disons -nous, à étudier les propriétés des fonctions indépendamment de leur' spécification; la méthode étant expliquée in génère, nous l'utiliserons ensuite in specie.

Supposons donc connue la dérivée; que nous apprendra-t-elle?

Si elle est positive entre certaines limites de la variable, cela signifie qu'entre ces limites la pente est positive ,' x croissant, y croît également. Il revient du reste au même de dire que x décroissant, y décroît également; ou enfin que x et y varient dans le même sens. Dans nos conventions d'axes, la courbe représentative parcourue de gauche à droite [x croissant) monte [y croissant).

C'est ce qui a lieu sur l'arc BCD (fig. 1) ou encore sur l'arc GF.

Si elle est négative , cela signifie que la pente est négative ; parcourue de gauche à droite [x croissant), la courbe représentative descend [y décroissant). C'est ce qui a lieu sur les arcs AB et DF.

Si elle est nulle, la pente est nulle. Nous définissons ainsi les maximums (point D) et les minimums (point B).

D'après la manière même dont la dérivée est obtenue, nous pouvons considérer la quantité dy ; dx comme un véritable quotient. Nous avons donc :

dx , * \ dy

Si dy ; dx est très grand (point F), dx ', dy est très petit. Donc les abscisses pour lesquelles dy \ dx croît au delà de toute limite, sont celles pour lesquelles la fonction inverse x = Q[y), présente un maximum ou un minimum. Autrement dit, quand dy ; dx croît au delà de toute limite, la tangente à la courbe est verticale.

5°. — Les remarques précédentes s'appliquent à toutes les fonctions; en revanche, elles ne nous apprennent rien d'immédiatement utilisable pour chacune d'elles. L'utilisation est subordonnée au calcul préalable de la dérivée.

On se demandera quel est le profit d'utiliser la dérivée, puisqu'en définitive elle ne nous apprend rien qu'un calcul direct ne puisse donner. Ayant soigneusement construit la courbe représentative point par point, comme conséquence de la définition de la fonction, nous savons où la pente est positive, où négative, où nulle.

C'est exact; mais on ne peut sans perte excessive de temps calculer un grand nombre de points; la connaissance de la dérivée détermine la direction de la tangente et, par suite, laisse deviner l'allure de la courbe au voisinage d'un point; enfin elle fournit directement certains résultats que le calcul d'un grand nombre de points donnerait moins exactement.

Par exemple , soit : y = Qx^ -\-3x-\- i, l'équation de la courbe. Le calcul du § 6 nous apprend qu'on a :

dy ; dx = 1 2x -|- 3 .

Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse. 2

Nous voulons savoir pour quelle valeur de Xj y prend sa valeur minima. Au lieu de construire la courbe point par point, nous écrivons que la dérivée est nulle :

12a; + 3rr:r0, X = — 0,2^6.

3^. — Mais la dérivée a un autre avantage immédiat : elle nous permet, au voisinage d'un point, de remplacer la courbe par sa tangente : l'approximation dépend évidemment de la forme de la courbe au voisinage de ce point; nous apprendrons à l'évaluer (§ 38, 3").

Nous avons trouvé plus haut la formule (tig. 8) :

{dy ; dx)^^^ est la valeur de la dérivée quand, dans son expression générale, on substitue à a? et à ?/ les valeurs correspondantes particulières au point A : x = a^ yz=h.

Soit ç, r,, les coordonnées d'un point quelconque D de la tangente.

On a : CD=r=Y; — b, AC = ; — a.

D'où l'équation de la tangente :

Au voisinage du point A, nous pouvons généralement substituer l'équation (i) à l'équation exacte :