Dérivées partielles : principe fondamental

/o. — Nous supposons, dans ce qui précède, (jue la l'onction y ne dépend que d'une variable x. Généralement elle dépend de plusieurs variables x, z, /, ... qui peuvent être indépendantes (c'est-à-dire qu'on peut supposer varier les unes sans les autres), ou qui peuvent être liées par une relation quelconque, peu importe. On a donc :

Quand x, z, t^ ... deviennent x-j-Aa:, ::-|-A3, ^-j-A/, ..., y subit un accroissement Aï/ qui dépend d'une manière complexe de A.r, A3, A/, .. En particulier, il est généralement impossible d'isoler la partie de l'accroissement qui dépend de Ax, de celle qui dépend de A3, ...; Ar et A3 entrent simultanément dans certains termes.

Par exemple, soit y=xz.

Ona: y -{- ^y = {-^ -\- ^«^) (- -\- ^s) z=xz-{- xi^z -\-z\x-\- AxAz,

Aï/ = xàz -\- zlx -}- Aa:'A3.

L'accroissement de Ay, quand x croît de Ax, ne peut être calculé sans connaître l'accroissement simultané As de la variable 3.

Mais quand Aa? et As tendent simultanément vers zéro, le terme Aa?A2 décroît beaucoup plus vite que les deux autres. A la limite, il devient négligeable.

:^°. — En généralisant, nous obtenons ce principe dont nous nous défendons de donner une démonstration , quittes à le vérifier dans tous les cas particuliers : On peut calculer la limite de l'accroissement de la fonction pour un accroissement infiniment petit de l'une des variables dont elle dépend ^ sans s'occuper des accroissements infiniment petits simultanés des autres variables,' autrement dit, on calcule cette limite en supposant constantes les autres variables.

Nous écrivons : dy :^ -T^dx-\--^dz-^-^dt-{- ...

-sp- (qu'on écrit encore 'ày ; bx ou by/àx) est la dérivée partielle

de y par rapport à x ; elle ne diffère en rien d'une dérivée ordinaire. Le mot partiel rappelle seulement que y dépend non seulement de X, mais encore d'une ou plusieurs autres variables :

^ = /-:=.lin.^(- + ^-'-'^'-^-)-^i^A^, pour A. = 0.

Reprenons l'exemple : y = xz.

Nous avons: dy = ^dx + ^dz; ||- = 2, 5^'^^;

dy = zdx -\- xdz.

Remarque.

Si on a identiquement yz=if(x^ z, t, ...) = 0, la relation devant être satisfaite en particulier pour les valeurs x, z, t^ ... des variables et les valeurs infiniment voisines x-\-dXy z-\-dZj ... , on a identiquement :

OU, suivant la notation de Lagrange :

f:^dx+f:dz+f[dt-\-...=Q.