Théorèmes d'Apollonius

/". — Puisque deux diamètres (droites passant par le centre de symétrie) conjugués de l'ellipse sont les projections de deux diamètres rectangulaires du cercle, les points où ils coupent l'ellipse correspondent à deux valeurs u, u\ de l'anomalie excentrique qui diffèrent de t: ; 2.

Ils ont donc pour coordonnées :

x=:acosu, y = bsinu] x' = as[nu, y' = — bcosu.

Les pentes des diamètres correspondants sont :

/)=:tga = ^ = — tgW, />'==tgP=|r = — -COtgU.

D'où la relation : PP ^=^ T-

!^°. — Appelons a' et // les demi-longueurs des diamètres conjugués. On a :

a'^ = x^-\-y^ = a^ ces* u -j- A* sin* u, b'- =z x'^ -j- î/'- = a* sin* u -\- b^ cos- u . Additionnons membre à membre :

La somme des carrés de deux diamètres conjugués est constante. Elle est égale à la somme des cai^r^és des axes qui sont évidemment deux diamètres conjugués.

3°. — Galculons le sinus de l'angle 6 que font deux diamètres conjugués. On a : 'b = oi. — g-

tg a b sin u b sin u sm a — —

\/l -f- tg* a ^a^ cos* u-{-b^ sin* u

SECTIONS CONIQUES

On trouve de même aisément :

acosu . ^ bcosu

cosa = D'où :

sm g =

cos ^z=

asm u

sin J> = sin (oc — ^) = ab [ a' h' ; a'b' sin tj; = aj6.

Uaire du parallélogramme (§ 68) construit sur deux diamètres conjugués est constante. Elle est égale à Vaille du parallélogramme construit sur les axes.

Les deux dernières propositions sont connues sous le nom d'Apollonius.