Tangente à Tellipse; polaire d'un point
/". — Nous avons démontré au § 5, ^o, que la tangente à l'ellipse en un point est bissectrice des droites qui le joignent au foyer.
Cherchons l'équation de la tangente. Soit ?, -z^, les coordonnées dun point P de Tellipse ; soit .t, ?/, celles d'un point quelconque de la tangente en P.
^ — ; ^y — 'n dk -
On a (§ 30) :
Différentions l'équation :
on trouve :
dri
dz:
Remplaçons dans (1) dl et dr, par les valeurs proportionnelles tirées de (3) ; utilisons (2) :
go
(^-?)^+(2/--0)^-=O' Polaire d'un point (fig. 86).
Soit X, ?/, les coordonnées du point M par lequel on mène la tangente. L'équation (4) doit être satisfaite pour les points S, T, de Fellipse (points de coordonnées c, r<), où il faut construire tes tangentes pour qu'elles passent par le point M. Donc (4), où ; et r, sont considérés comme variables, est l'équation de la corde ST qui joint les points de contact S, T, des tangentes menées du point donné M ; c'est la polaire du point M (§ 85). ,
S". — Construction de la tangente.
Pour construire la tangente en P, utilisons la propriété de l'ellipse E d'être la projection du cercle C. Construisons la tangente au cercle pour le point P' qui correspond à P. Elle coupe le grand axe en Q ; joignons Q et P ; la droite QP est la tangente cherchée. Cela résulte de ce que, dans la projection, les relations de courbe à tangente ne sont pas modifiées.
113. Relation générale entre les pentes des diamètres conjugués.
Soit l'équation : nix- -{- ny^ -\- 2pxy -\- t = 0 , (I)
d'une conique rapportée à son centre. Au point .r, //, menons la tangente. Sa pente est déterminée par l'équation :
mxilx -\- nydy -\-p[xdy -\- ydx) = 0.
Posons : q^=zdy '. dx, q^=^y \ x.
Il vient : n(J,q^-[-p{q^-\-q^)-\- m=ii). (2)
Or, d'après ce que nous avons démontré plus haut, la tangente au bout du diamètre Dj de pente ^j» est parallèle au diamètre conjugué 1), de Dj. Donc (2) est la relation générale entre les pentes des diamètres conjugués, i/existence des termes du premier degré dans (1) ne modifie pas (2), parce qu'ils correspondent à une simple translation des axes de coordonnées.
