cos$-f-^-:sin^S

C'est une ellipse, mais qui n'est plus rapportée à ses axes.

SECTIONS CONIQUES j^^.

^^ — Posons que la variable " varie proportionnellement au temps. Les équations (1) expriment donc, non seulement que le mobile de coordonnées x, y, décrit une ellipse, mais encore qu'il la décrit suivant une certaine loi. Nous montrerons plus tard que les aires balayées par le rayon vecteur qui joint le centre de V ellipse au mobile., varient proportionnellement au temps [loi des aires, ^ 175).

Le tour d'ellipse est effectué (ïans le temps nécessaire pour que la variable u augmente de 2-::.

Posons : u — -^ ; T est la période.

Le paramètre ^ spécifie la position du mobile à l'origine des temps • c'est la phase (§ 52). '

Si 0 = 0 ou x, Tellipse s'aplatit en une droite qui passe par l'origine des coordonnées : la vibration est rectiligne.

Si 0 = 7: : 2, ou 3t. '.2, l'ellipse est rapportée à ses axes.

D'une manière générale, les formules du § 105 permettent de calculer la position des axes.

3°. — Chacune des équations (1) représente une vibration sinusoïdale (§ 52). Considérons les n mouvements :

iF^=:ai cos [u — ai), yi=bi cos(u — ^^);

X2 = a.2Cos{u — a.), y2 = b^^ cos {u — (Sg) ;

Chaque système représente une ellipse de la forme :

Nous avons démontré que la somme zlx des mouvements vibratoires sinusoïdaux dirigés suivant Ox est elle-même un mouvement

sinusoïdal (§ 53) ; Z^y est aussi un mouvement sinusoïdal. On a donc identiquement :

X=:Xi-\-Xç,-\- ... = M COS (w • JJ!,),

?/ = 2/1 + ^2 + . . . =^ N cos (u — v).

D'où la proposition suivante : Considérons des ellipses de même centre y de même période et décrites isolément suivant la loi des aires. Quelles que soient les phases respectives des mobiles sur chacune d'elles, si on compose à chaque instant tous les déplacements, on obtient un mouvement elliptique décrit lui-même suivant la loi des aires. Le mot composition est pris au sens géométrique ; on obtient les coordonnées du déplacement résultant en ajoutant respectivement les abscisses et les ordonnées des mouvements composants.

Ce théorème a une interprétation mécanique très simple ; son importance est capitale en Optique.

115. Somme d'ellipses de même centre, de mêmes directions d'axes et dont les axes sont dans un rapport donné.

Le théorème précédent ne suppose rien sur les positions relatives des axes des ellipses composantes. Admettons maintenant que les ellipses concentriques ont mômes directions daxes, et que leurs axes sont dans le même rapport. Prenons Ox et Oy comme directions des axes ; nous pouvons leur donner les équations

Xi = aj cos [u — a,), ?/, = ka^ sin (u — a,)

X^ = 32 cos [u -^ 0-2 , IJi = lid.2 siu [u Jj)

On vérifiera que Tellipse résultante est elle-même de la forme : j? = Mcos(u — jji), ^ = /fMsin(u — |x),

quelles que soient les phases x,, aj, ...

Ce théorème est fondamental dans l'Optique du Quartz.