Développée de l'ellipse

/ ". — Partons de l'équation :

En diiïérentiant une et deux fois, on en tire

dx

dx'-

a* dx\y)~ ahf

D'où le rayon de courbure (§91) :

(/)V-faV)T P — a'b' '

Pour le point A :

(i/ = 0, x = a) ^ = h- : a] pour le point B :

Le lecteur tracera une ellipse d'après la propriété des foyers (boucle de lil passant sur deux punaises et tendue par la pointe d'un crayon). 11 vérifiera que l'ellipse est

Fig. 87.

déjà presque complètement obtenue quand on a tracé les quatre cercles osculateurs qui correspondent aux extrémités des axes.

Le centre de courbure a qui correspond à A, est compris entre le centre 0 de l'ellipse et le foyer F.

Le centre de courbure [^ correspondant à B est au delà du point 0 ; il peut être entre 0 et B', comme le montrent les figures 87 et 88. Si l'ellipse est suffisamment aplatie, il est au delà du point B'. Fig. 88.

S\ — Développée.

Appliquons les formules du § 91. Soit J, y;, les coordonnées du centre de courbure :

Remplaçons les dérivées par leurs expressions ', il vient :

(Ayi

A l'arc AB de l'ellipse (^>0, ^ > 0) correspond l'arc a(^ de la développée (a? >> 0, y <C^)'

Substituons dans l'équation de l'ellipse ; nous trouvons pour la

développée :

Pour le point A B

Hyperbole.