Infiniment petits d'ordres divers

i". — Il n'y a pas de règles générales de dérivation ; c'est évident, puisque nous sommes libres d'inventer des fonctions en nombre quelconque. Dans chaque cas particulier, nous devons appliquer la définition :

dy ,. Aw ,. f(x-i-Ax) — f(x) dx /\x ^x

Ce qu'on appelle parfois règles de dérivation est l'ensemble des

résultats pour les fonctions usuelles; nous les établirons plus loin.

Mais on peut faciliter les calculs au moyen de remarques gêné-

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raies; par exemple, il est commode de classer les infiniment petits en difYérents ordres.

5". — On prend un infiniment petit a comme principal; il sert de terme de comparaison, à' unité pour évaluer au même instant les autres infiniment petits.

On appelle infiniment petits du preminr ordre a! , tous ceux dont les rapports avec a ont des limites iinies quand x s'annule. Ils rentrent donc dans la forme générale :

où p est une quantité finie et a" un infiniment petit. Quand y. s'annule, le quotient a' ; a tend vers p.

On appelle infiniment petits du second ordre |îi, tous ceux dont les rapports avec a sont des infiniment petits du premier ordre. Ils rentrent donc dans la forme générale :

[i = 7Ly.'{p-\-0L").

On définit de même de proche en proche les infiniment petits d'un ordre quelconcfue. On verra aisément qu'un infiniment du n'^*^ ordre rentre dans la forme générale :

p est une quantité finie, a un infiniment petit. ,'?". — Précisons ces notions sur un exemple. En vertu des propriétés du cercle, on a (fig.lO) :

BC . Hï) = HA= , AE . ËD =r CE'. ( I )

Prenons AH comme infiniment petit principal. Joignons le point

variahle B au point fixe D; cherchons comment s'annulent les lignes CÂ, CE, CB, AÊ, quand B tend vers A.

Il est d'abord évident que Parc CA et la corde CE tendent à égaler AB. Les grandeurs CA et CE sont donc du premier ordre, puisque leur rapport à l'infiniment petit principal tend vers une limite finie (qui est I dans le cas particulier).

Los quantités CB et EA sont au contraire du second ordre, ainsi qu'il résulte des équations (l). Quand B arrive en A, BD et ED deviennent égales au double du rayon; BC et AE tendent donc vers la même valeur :

lim7vE==limBC = lim.BÂ^2R.

^". — L'intérêt des considérations précédentes réside dans la pro

position que voici; nous nous contenterons de l'énoncer; elle sera amplement expliquée et vérifiée par les applications.

Quand on cherche la limite du rapport de deux quantités qui sont la somme d'infiniment petits de divers oidres, il suffit de conserver dans chacune les infiniment petits de l'ordre le moins élevé.

Cette proposition est au fond identique avec le principe fondamental du § 9.