Diamètres conjugués

Reprenons la théorie des diamètres conjugués par une méthode directe. Soit :

mx^-^ny^=\, (1)

une conique à centre. Coupons par la ligne :

y=px-\q. (2)

SECTIONS CONIQUES I49

Éliminons successivement y et x entre les équations (1) et (2). Nous obtenons les coordonnées des points d'intersection P, Q, au moyen d'équations du second degré. On trouve (fîg. 91) :

m-\-np^ — — '

^ m-\- np- — ^ —

Il est clair que les coordonnées du point M qui est à égale distance des points P et Q, sont x et y' . Le point M se trouve donc sur une droite OM passant par l'origine et dont la pente est :

X P np '' ^^ n ' ■ \ )

Or y a disparu de la relation (3); donc toutes les cordes G parallèles à (2) sont coupées en deux parties égales par une droite, passant évidemment par l'origine qui est un centre,' cette droite D' est appelée diamètre conjugué des cordes G.

La relation (3) étant symétrique en p et p, les cordes G' parallèles à D' sont coupées en parties égales par le diamètre D parallèle aux cordes G.

La formule (3) contient comme cas particulier la formule du § 111, /°. Appliquée à l'hyperbole, elle donne :

pp' = L'~:a\

Les asymptotes peuvent être considérées comme des diamètres conjugués superposés ; on a alors :

pz=zzp ^=±1) : a.

Remarque.

Toutes les hyperboles

ont mêmes asymptotes et mêmes systèmes de diamètres conjugués. Elles représentent, si l'on veut, la même hyperbole construite à des échelles qui croissent à mesure que k- augmente. En particulier, l'une de ces hyperboles (échelle infiniment petite) se confond avec les asymptotes : celles-ci admettent donc le même système de diamètres conjugués que l'hyperbole.

Le segment P'Q' est coupé en parties égales par le point M, tout comme le segment PQ.