Théorèmes d'Apollonius

Gomme ils n'ont aucune application, nous ne ferons guère que les énoncer. On les démontre aisément en cherchant directement les longueurs de deux diamètres conjugués.

Coupons la courbe m.r--|- n?/-r=: 1 , par la droite y=px.

^'.^ 1 ,,,.^ £! . a'.. = ^. I „= l.+Pl

m -f- tip^' ' m-\- np^ ' "^ ' m -f- np^ *

Pour le diamètre conjugué, on a (§ \2i)) :

/>'- -: — 7~ '^^ iivec la condition : pi/ ~ —

m -\-np - ' ^ ^ n

D'où généralement (t^ 11 i ) : a'- 4- /)'-==- 4- ., = — — •

Dans le cas de Tliyperbole, il faut remplacer h- par — h*, h'- par —//'.

Posons y=D'OD. On vérifie les relations :

a- — b''=ia' — />', a'b' siny=ab.

La différence des carrés de deux diamètres conjugués est constante. L'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués est constante.

L'angle -/ est détini par la relation :