Équation et propriétés générales
/". — Conformément au § 106, la parabole est une courbe dont, par un choix convenable de l'origine des coordonnées et de la direction des axes (supposés ici rectangulaires) , l'équation prend la forme (fig. 93) :
?/^ = 2px.
p est le paramètre.
Le point F dont l'abscisse est AF=:^ ; 2, s'appelle foyer. La droite Kx est Vaxe de la parabole. L'axe A.y est tangent à la parabole en son sommet A.
On appelle directrice
J •* \ ITM Fig. 93.
une droite A parallèle
à Oy, et telle que AE = — jd : 2. L'axe Kx est de symétrie. Les droites parallèles à Taxe rencontrent la courbe à l'infini (§ 104).
'2". — Coordonnées polaires.
Transportons l'origine au foyer ; l'équation devient :
Posons : ; = rcosG, Y; = rsinO.
On trouve :
j/. + ;' = (p + ?)S -. = /> + ;, r = -,f-^. (II)
Quand 6 varie de 0 à z, r varie de — /> i 2 (point A) à — oc. ,?". — Propriété de la directrice A.
On a : TS = TU + 1)8=^9 + ?.
La seconde équation (II) se traduit donc par la relation :
TS = FS.
Les points de la parabole sont équidistants d'un point fixe F et d'une droite invariable A. On n'oubliera pas que nos conventions sur Q entraînent à compter r négativement.
125. Tangente et normale à la parabole. /°. — Soit ;, rj, les coordonnées d'un point I de la parabole; soit X, 1/, les coordonnées d'un point quelconque de la tangente en I.
Ona(!i;<0): £^=y^. (1)
r,^ = 2pf„ r,dr,=pcll (2)
Remplaçons dans (1), (/; et dt] par les quantités proportionnelles tirées de (2); il reste : /)(.r-|- ;) = //'';• (3)
Dans l'équation (3), faisons y = 0; il vient : x = — ;.
Le point J d'intersection de la tangente en 1 avec l'axe de la parabole est tel que : JA=:AK.
9\ — Montrons qu'on a : Fl=:FJ.
rv=(,-i2+r-={,-^J+2p,=(,+j)\^
Or JAziz:;, AF=p:2\ d'où: FI = JA + AF=: JF.
La tangente à la parabole fait des angles égaux avec l'axe Ax et avec la droite menée du foyer au point de contact.
,^". — La normale a pour équation (§ 30) :
(.r-;-)rf| + Cv-Orf,; = 0. r.{x-^)+p(y—n)^0^ (4)
Dans l'équation (4), faisons i/ = 0; il vient : r — ; = p.
Or .r — ;=ÂG— ÂK=:KG.
Donc la sous-normale KG est constante et égale au paramètre p.
SECTIONS CONIQUES
