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Pour que A'F' reste constant, il faut que b et a croissent simul-

Fig. 95.

tanément de telle sorte que />' .' a reste fini, et par suite que b- ; a* tende vers 0. On a alors (§ 12) :

L'équation (1) se réduit h : y* = 2px.

^°. — La parabole est la limite d'une hyperbole dont une des extrémités de Taxe réel A et le foyer F voisin restent fixe, et dont le centre 0 s'éloigne indéfiniment (fig. 95 à droite).

Transportons l'origine des coordonnées en A. L'équation de l'hyperbole devient :

Ecrivons que le foyer est tiie. Posons donc

Le même raisonnement que plus haut réduit l'équation (2) à :

y° = 2px, quand a croît indéfiniment.

3°. — Toutes les propriétés de la parabole peuvent se déduire comme limites des propriétés de l'ellipse ou de l'hyperbole.

Ainsi tous les diamètres de ces courbes passent par le centre; donc, le centre allant à l'infini, tous les diamètres de la parabole sont parallèles à Taxe.

La tangente à l'ellipse ou à l'hyperbole au point P fait des angles égaux avec les droites qui joignent le point P aux foyers. L'un des foyers allant à Finfmi, la droite correspondante devient parallèle à l'axe; d'où la proposition du § 125, :^°.

L'ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à deux points fixes est constante; l'hyperbole est le lieu des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante. On vérifie immédiatement qu'à la limite ces propositions donnent la suivante : la parabole est le lieu des points également éloignés d'un point fixe et d'une droite (§ 124, S').

Démontrons pour l'ellipse; la démonstration est semblable pour l'hyperbole. Quand le foyer F va à l'infini (fig. 95) , sa distance :

à une droite c quelconque normale à Ox, devient constanfe pour toutes les droites FQ qui passent par les points P à distance finie sur la parabole. Simultanément FPQ devient normale à la droite B, puisqu'elle devient parallèle à Ox.

Mais on a toujours : ^-[-/''=:G'^

Des deux conditions précédentes, on tire :

En choisissant convenablement la droite c, on annule la constante. Il suffit évidemment de lui donner une abscisse égale et de signe contraire à celle du foyer F' : on définit ainsi la directrice A.

On remarquera que l'ellipse est le lieu des points également distants d'un foyer F' et du cercle décrit de l'autre foyer F comme centre avec un rayon 2a. On définit ainsi un cercle directeur qui devient la directrice A quand F va à l'infini,