Fonctions composées

Le calcul des dérivées est singulièrement facilité par l'application du principe fondamental (§ 9). Toute fonction d'une variable u peut être considérée d'une infinité de manières comme composée ^ c'està-dire comme fonction de plusieurs variables x, z^ t^ ... elles-mêmes fonctions de la variable u.

Quand les variables a?, 5, t, ... sont indépendantes, nous avons vu que le principe se traduit par la formule :

Dire que les variables sont indépendantes, c'est dire que nous pouvons choisir à notre gré les quantités dx , dz, dt , ...; nous pouvons par conséquent les lier aux variations d'une autre quantité u. Nous avons alors :

dx = ~j~du, dz=i-j~-du, ...

du ' du '

D'où la formule :

hy dx ^ , bi/ dz , , dy= ^-j—du4-'^-j-du + ...

^ Ox du ^ Oz du ^

Posons, par exemple : y=^xz^ x = f[u), 5=:(p(u);

on a : dy = z-i — du-\-x—T^ du^

ce qu'on peut encore écrire, en employant la notation de Lagrange ou celle de Newton :

dy = zf'du -\- xo'du = zfdu -\- X(!^du .