Définition des courbes enveloppes
/°. — Soit une fonction égalée à zéro : f[x,y,pj = 0^ (1)
où entrent les coordonnées x, y, et le paramètre p. Pour chaque valeur de p, l'équation (1) représente une courbe ; d'une manière générale, elle représente un faisceau de courbes. Autrement dit, (i) représente une courbe qui se déplace dans le plan, généralement en changeant de forme.
Par exemple, l'équation : x--\-y'^=p-,
représente un faisceau de cercles concentriques, dont le centre est à l'origine des coordonnées et dont le rayon est p ;
yz=ax+p,
où p est le paramètre variable , représente un faisceau de droites
parallèles. Dans ces
deux cas, le faisceau
recouvre tout le
plan.
^\ — Mais il arrive que le faisceau ne recouvre qu'une partie du plan, qui est ainsi partagé en deux régionsparune courbe, enveloppe des courbes du faisceau. Ces courbes recouvrent la portion du plan qui est d'un côté de l'enveloppe, et respectent la portion qui est de Tautre côté.
Tz
Si
Sz
Fig. 97.
Par exemple : [x — p)- -\- if- z= r'^ ^ [2\
représente un faisceau de cercles dont le rayon est invariable et dont les centres occupent tous les points de l'axe Ox. La courbe enveloppe se compose évidemment de deux droites, parallèles à Ox et d'ordonnées (fi^. 97 j : y = -h- r.
3°. — ■ Les courbes enveloppes, telles que nous les avons définies, jouissent de deux propriétés quasiment évidentes. D'abord elles sont tan<^entes à toutes les courbes du faisceau. Cette propriété résulte de ce que l'enveloppe leur est extérieure, tout en ayant avec elles un point commun ; il y a donc tangence en ce point.
En second lieu, on peut considérer Y enveloppe comme le lieu des intersections successives des courbes du faisceau qui sont dites enveloppées.
Par exemple, quand le cercle G, se rapproche indéfiniment du cercle G,, leur point d'intersection R se confond à la limite avec les points T, et Tp : il est sur l'enveloppe.
/". — L'équation de l'enveloppe .se dé<luit immédiatement de là. Deux courbes voisines du faisceau correspondent à deux valeurs p et p-\-(Ip du paramètre ; elles ont les équations :
s, - f{x. ,v, p) = 0, s, = fir, ,>,p) + ''f^'-^y'P) dp = 0.
Le point d'intersection se trouve sur la nouvelle courbe (§ 88, :?**) :
Par exemple, le point d'intersection d'un cercle du faisceau (2) et du cercle voisin se trouve sur la courbe :
c'est-à-dire sur la droite T,S, menée par le centre 0^ parallèlement à Oy.
En définitive, pour trouver le lieu des intersections successives, il faut éliminer le paramètre p entre les équations :
3". — Pour éviter toute dilBculté à propos des définitions précédentes, considérons la cubique 3y = x^, dont le centre 0 se déplace suivant la bissectrice des axes [iig. 98) :
3{y~p) = {x-pf. (i)
Cherchons l'enveloppe. Dérivons (1) par rapport à />; éliminons p entre (1) et l'équation obtenue :
Ainsi (ce qui était évident a priori) l'enveloppe se compose de
GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES
deux droites E, E', parallèles à la bissectrice des axes et coupant Ox en deux points d'abscisses -1-2:3.
Contrairement à ce que nous avons dit, il semble donc que le plan n'est pas partag-é en deux régions : l'une balayée par les courbes du faisceau, l'autre intacte. La règle réapparaît exacte si
Fig. 98.
nous observons que les branches infinies de la cubique ne jouent aucun rôle dans la recherche de Tenveloppe : nous pouvons limiter la courbe en B et B' sans y rien modifier. Il sera donc entendu que nous ne prendrons des courbes que les portions nécessaires à la définition des enveloppes considérées.
Pour en finir avec notre exemple , le point de tangence qui appartient à la courbe (1) et à son enveloppe (2) a pour abscisse :
