Mouvement des projectiles; parabole de sûreté. Mirage

i\ — Considérons un mobile qui se meut dans un milieu non résis-

tant. Il part avec une vitesse V ; la ligne de visée fait l'angle a avec Thorizontale. La composante horizontale de la vitesse est uniforme ; la composante verticale est uniformément retardée. On a donc (fig. 99) :

a? = Vcosa.^, ?/ r=z V sin a. . / — Wff^^- (^)

Eliminant le temps entre ces équations, on trouve la trajectoire parabolique :

2/ = ^tg^-2V'cos'a- (^)

Recommençons l'expérience avec la même vitesse initiale V, mais

Fig. 99.

en donnant à l'angle a successivement toutes les valeurs possibles. Nous définissons un faisceau de paraboles : cherchons leur enveloppe. Dérivons (2) par rapport à a. On trouve après des réductions aisées :

tga = V^ : [ffx), x = V« : (^tga). (3)

Le point d'intersection de la parabole (2) et de la verticale (3) est le point où la parabole touche son enveloppe. Eliminons a entre (2) et (3). Il vient :

gx*

C'est une parabole, dite de sûreté.

Pour .r = 0, y, = \^:2j\

y = 0, Xo = \^:(/ = 2yo.

Il est impossible d'atteindre les. points qui sont au-dessus de la parabole de sûreté; on peut, au contraire, atteindre de deux manière,^

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURRES

ceux qui sont au-dessous. Autrement dit, par tout point R de la région accessible passent deux courbes du faisceau (2).

^'\ — On retrouve exactement le même problème dans la théorie des rayons lumineux courbes et du mirage. Une loi simple de variation de rindice de réfraction fournit des rayons paraboliques qu'on peut ramener à la forme (2), ou à la forme équivalente :

X- — ây := a{x sin 2a — y cos 2a) ; a définit encore la tangente à l'origine. L'équation de l'enveloppe est :

x^ = aia -f- 2y).

Par tout point compris dans cette parabole passent deux trajectoires lumineuses : c'est à cette circonstance qu'est dû le mirage.

131. Enveloppe d'une droite de longueur l constante qui s'appuie par ses extrémités sur deux droites rectangulaires.

On peut prendre la droite sous la forme (lig. 100) :

îy=ictg6 + /sin0 ; (1) 0 est le paramètre variable.

Dérivons (1) par rapport à 6 :

.T=^ — /cos^O. (2)

11 faut éliminer 0 entre les équations (1) et (2).

Élevons les deux membres de ( 1 ) au caiTé ; remplaçons X par sa valeur tirée de (2) ; on trouve aisément :

y'^ ^= l^ sin" 8.

Remplaçons sin^ 0 par sa valeur tirée de (2) ; on a :

Fig. 100.

COS- ô =

et enfin

Nous avons déjà rencontré cette courbe au § 102, sous le nom à'hypocycloïde à quatre rehroussements. On peut la considérer comme la projection de la développée de l'ellipse (fig. 88) sur un plan passant par le grand axe et convenablement mcliné. Elle est représentée fig. 101.

132. Enveloppe d'une droite qui détermine avec les axes un triangle d'aire constante. Généralisation.

/ '.. — On peut mettre l'équation de la droite sous la forme :

Cours de Matliématiques générales.

H. BOUASSE.

Pour x^=0, on a y=p\ pour y = 0, x=:S'.p. Le pro-

Fig. 101.

duit constant .ry = S, représente le double de Taire du triangle. Dérivons par rapport à p :

Eliminons p entre (1) et (2) ; il vient :

l'enveloppe est une hyperbole cquilatère. 9°. — Gknékalisation.

Si l'enveloppée est de la forme :

OÙ L, M, R sont des fonctions quelconques des coordonnées,

l'enveloppe a pour équation : M- = LH.

Cela revient à écrire qu'en résolvant (1) par rapport à />, on trouve deux racines égales. Nous interpréterons plus loin ce résultat.