Remarque sur les enveloppes

/''. — Dans tous les exemples que nous avons traités, un point R quelconque de la portion du plan que recouvrent les courbes enveloppées, se trouve sur deux de ces courbes G^ et C^. Parcourons cellesci toujours dans le même sens. Si pour C^ nous rencontrons d'abord le point de tangence T^ avec l'enveloppe, ensuite le point R, c'est l'inverse pour Co : nous rencontrons d'abord le point R, ensuite le point de tangence T.2 avec l'enveloppe.

Cette disposition est nécessaire pour que, les deux courbes se rapprochant indéfiniment, les trois points T^, R, T2, finissent par se confondre.

Résolvons l'équation f[x^ ?/, /))=:0, par rapport à /). Soit :

la solution. D'après .ce qui précède, il faut que pour le même système de valeurs ic, ?/, le paramètre ait deux valeurs différentes. Ces valeurs deviennent égales précisément si le point x, y , est sur l'enveloppe. On comprend maintenant le résultat énoncé au § 132. Par exemple, pour le cercle (2) du § 129, on peut écrire :

p = x-;j- \Jr^ — T/'-^ .

Soit iP, y^ les coordonnées d'un point compris dans la bande accessible ; il existe deux cercles qui y passent ; ils correspondent aux paramètres :

Pi = ^ + \/r^ — y^ , p^ = x — \/r'- — y^ . Pour obtenir le point de l'enveloppe, on doit poser :

Pi=P-2, y = ±r.

^°. — Tout ce que nous avons dit, s'applique aux tangentes d'une courbe. On peut les considérer comme les enveloppées de cette courbe qui devient Y enveloppe de ses tangentes. La courbe limite la région

du plan que ne peuvent recouvrir les tangentes. D'un point extérieur R suffisamment voisin, nous pouvons généralement mener deux tangentes qui touchent la courbe en des points Tj et Ta situés de part et d'autre de R.

S". — Démontrons analytiquement cette propriété des tangentes. Leur équation générale s'écrit (§ 30 1 :

-rfr=V^' (^-;)77r=-'/— ^' (1)

où jr, y, sont les coordonnées courantes :

Les quantités ;, v], et par suite d'f\ ', d'z sont fonction d'un paramètre p. Nous pouvons en oiTet définir la courbe par les relations :

l = ^{p), r,=^/\p), dTr.dl = 'l{p). ^)

Différentions (I) par rapport au paramètre :

/ ^. d'I) (Iz (Ir. , ^ d^

ix — z)—r- — 1-^-=: — -1—, ou

dp dp dp ^ ' '' dp

en vertu des relations (2).

Si d'h ; dp n'est pas identiquement nul, nous devons poser :

.r=;, et, en vertu de (1 j : i/=r,.

L'enveloppe des tangentes est la courbe (2) elle-même. La conclusion n'est plus exacte si l'on a identiquement :

^:=0, .i = C'- a, r, = al + b.

La courbe proposée est une droite avec laquelle se confondent ses tangentes.

COHOLLAIRE.

L'enveloppe des normales à une courbe est la développée de cette courbe. En eifet, toutes les normales sont tangentes à la développée (§ 95). Ce corollaire présente un grand intérêt, car pratiquement on forme l'équation de la dével<)p[)éo en la considérant (non comme le lieu des centres de courbure , mais comme Tenveloppe de la normale.