Courbes roulantes

/". — Imaginons unt^ courbe v qui se déplace dans le plan sans se déformer (lig. 102). Dans sa position ABGDA , elle a par rapport aux axes O.r, Ot/, les équations :

S est l'arc de courbe compté à partir du point A, par exemple, dans le sens ABCD.

Les équations (1) donnent la forme de la courbe (par élimination de s) ; elles permettent aussi de repérer les dilVérents points par leurs distances à l'un d'eux comptée sur la courbe même.

Déplaçons la courbe et simultanément les axes de coordonnées ;

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES

elle vient en AiBiGiDiAi, tandis que les axes vont en 0^x^, O^y^. Nous avons évidemment encore :

puisque rien n'est changé, sinon la position absolue dans Tespace. Soit alors a, b, les coordonnées du point Oi, et 6 l'angle que

Fig. 102.

fait O^x^ avec Ox. Les formules de transformation du § 78 donnent : a?i -[- a = .T cos 0 -j- ?/ sin 0, î/i -[-/) = — xsm 6-|-?/ cos 6.

Les équations (2) deviennent :

X cos 6 -[- 2/ sin 6 — a = f[s) , — ir sin 6 -j- 2/ cos G — b^^Yis).

Telles sont les équations les plus générales d'une courbe qui se déplace dans un plan sans se déformer. Les quantités 6, a, j6, sont fonctions d'un paramètre p qui est Vopérateur du déplacement.

Nous pouvons déterminer l'enveloppe des courbes dans leur déplacement. Si la courbe est fermée (ce qui est le cas des figures 97 et 100), l'enveloppe possède généralement deux branches limitant une portion du plan.

^°. — Jusqu'ici rien de particulier.

Mais nous pouvons (c'est alors qu'intervient le rou/eme/i^) imposer la condition que les arcs (tels que AB^) compris entre deux points de tangence de la courbe mobile avec son enveloppe, soient égaux identiquement aux arcs correspondants (tels que AB) de la courbe enveloppée. Dans le cas général, c'est-à-dire si nous prenons arbitrairement les fonctions 6, a, j6, du paramètre />, la condition précédente n'est pas satisfaite ; il y a glissement de V enveloppée sur

Vcnveloppc. La suppression du glissement impose une relation entre e, a, h.

3". — Le problème, tel que nous venons de le poser, serait généralement inextricable. En fait, on se donne Tenveloppe et Tenveloppée ; on cherche à déterminer 0, a, h, de manière que le roulement ait lieu sans glissement.

C'est ainsi que nous procédons à propos de la cycloïde et des épicycloïdes (§§ 100 et 102). Nous nous donnons l'enveloppée (qui est un cercle de centre C) et l'enveloppe (qui est, suivant les cas, une droite ou un cercle) ; nous déterminons d'abord la trajectoire du centre C (c'est une droite ou un cercle), enfin la rotation de l'enveloppée nécessaire pour que le roulement ait lieu.