Branches multiples des enveloppes

/•*. — Nous avons dit que l'enveloppe séparait les régions du plan respectées par l'enveloppée dans son mouvement et sa déformation,

des régions qui ne le sont pas. Mais il peut arriver que certaines régions soient recouvertes deux fois, d'autres une seule, d'autres complètement respectées.

C'est dire que l'enveloppe peut avoir des branches multiples qui se coupent.

On rencontre à chaque instant de tels phénomènes dans l'étude des Caustiques optiques (§ 137).

t^°. — Pour fixer les idées, prenons comme enveloppée une ellipse infiniment aplatie et se réduisant h son grand axe; autrement dit, prenons le segment de droite AB. Faisons-le rouler sur le cercle PQllS. Son enveloppe se compose d'abord de ce cercle, ensuite du lieu de ses extrémités. Pour simplifier la figure, prenons la longueur AB égale au quart de la circonférence.

Quand la droite passe de la position PO à la position QU, ses extrémités décrivent deux arcs PU, OQ, de développante de cercle (§ 99). Il semble que la proposition invoquée au § L29 ne s'applique plus : la droite n'est pas tangente à la courbe énoncée comme enveloppe. La proposition s'applique, si nous considérons la droite comme une ellipse évanouissante ; ses extrémités ont un rayon de courbure nul.

A partir de la position QU, la droite pivote sur son extrémité Q ;

Fig. 1(W.

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES