Courbes caustiques. c

Le point lumineux S émet des rayons qui rencontrent une courbe ABC. Ils se réfléchissent en faisant avec la normale à la courbe un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. On appelle li(jne caustique la courbe enveloppe des rayons réfléchis (fig. 1 04) .

Nous n'étudierons pas les caustiques dans cet ouvrage : ce serait faire double emploi avec le Cours d'Optique géométrique (Physique, IV i.

Fig. 104.

Déplacement d'une figure invariable.

138. Déplacement fini dans son plan d'une figure invariable plane.

On peut transporter dans son plan une figure invariable d'une

position F à une autre position F' quelconque au moyen d'une rotation (fig. 105).

Réduisons la figure dans sa position F aux deux points A et B, dans sa position F' aux deux points A' et B', Joignons A A', BB'. Elevons des perpendiculaires au milieu de ces droites : elles se coupent au point C. On a :

AB = A'B' , par hypothèse ; A(] = A'C, BC = B'C, par construction. Les triangles ABC, A'B C (dont on tracera B les côtés) sont égaux. Au moyen d'une rota-

ï^'g ^^- tion de centre C. et d'angle :

ACA' = BGB' = BGA + ACB' ^ B GA' + AGB', on peut donc amener la figure de sa position F à sa position F'.

139. Déplacement continu dans son plan d'une figure plane. Centre instantané de rotation.

Gonsidéroiis uni' ligure se dfphivant d'un mouvement continu dans son plan. Autrement dit, soit driu- plans : l'un fisc. Vautre mohile, que nous déplaçons sur le plan fire.

Pour que le plan mohile passe de la position F, à la position très voisine Fo, nous devons, d'après le paragraphe précédent, utiliser une rotation infiniment petite autour d'un point G, du plan fixe ; G, s'appelle le centre instantané de rotation relatif à la position F, du plan mohile.

Four que le plan mohile passe ensuite de V^ à Fg, de F3 à F4..., nous devons utiliser une série de rotations infiniment petites autour d'une série de points Gj, (^3,... qui forment une courbe continue G dans le plan fixe : c'est le lien dans ce plan des centres instantanés de rotation.

Pour chaque position du plan mohile, marquons sur lui le point qui coïncide avec le centre actuel de rotation (point par conséquent actuellement im mohile). Le lieu de ces points forme sur le plan mohile une courhe continue F, que nous retrouverons plus loin.

Du paragraphe précédent résultent des corollaires évidents.

/". — Les normales menées au même instant sur les trajectoires de tous les points du plan mohile, passent par le même point du plan fixe qui est le centre instantané de rotation pour la position considérée du plan mohile.

^. — Les arcs élémentaires décrits en même temps par tous les points du plan mohile, sont des arcs de cercle ayant le centre instantané pour centre ; ils correspondent à la même rotation élémentaire : ils sont donc proportionnels à la distance des points au centre instantané.

Autrement dit : appelons V la vitesse linéaire d'un point P, oj la

GÉNÉRALITÉS SUR LES COURBES

vitesse angulaire instantanée de rotation, r la distance du point P au centre instantané. On a :

Pour un autre point P', on aurait :

V'r=(,r'; d'où : V : V'==r; r.

En particulier, le point du plan mobile qui coïncide avec le centre instantané de rotation est actuellement immobile.

S". — Pour connaître le centre instantané , il suffît de connaître les tangentes actuelles aux trajectoires de deux points quelconques du plan mobile. Pour connaître le lieu du centre instantané, il suffit de connaître les trajectoires de deux points quelconques.

Inversement si, par un procédé quelconque (par exemple, celui qui vient d'être indiqué), nous pouvons déterminer la position actuelle du centre instantané, nous connaissons les normales (et par suite les tangentes) aux trajectoires de tous les points P du plan mobile pour la position actuelle. Il suffit de joindre ces points P au centre instantané pour obtenir les normales ; des droites perpendiculaires passant par les points P sont les tangentes.

Voici trois exemples fondamentaux : deux points du plan mobile sont assujettis à décrire : 1° deux droites du plan fixe (ellipsographe) ; 2° une droite et un cercle (système bielle-manivelle) ; 3" deux cercles (parallélogramme de Watt).

140. Droite invariable dont les extrémités décrivent deux droites fixes. Ellipsographes.

Nous allons démontrer (ju'un point quelconque du plan mobile décrit une ellipse. Nous savons (§ 108) qu'un point quelconque d'une droite dont deuxpoints décrivent deux droites rectangulaires, décrit une ellipse; c'est sur ce théorème que repose la construction de V ellipsographe. Il s'agit de ramener le problème actuel à ce cas particulier.

/". — Cherchons le lieu des points du plan mobile qui décrivent des droites en même temps que les points B et D (fîg. 106).

Par le point A (intersection des droites fixes ^ et 8) et les points B et D, menons une

Fig. 106.

circonférence. Quand BD se déplace suivant la loi imposée, cette circonférence est entraînée, mais passe constamment par le point A. Cela résulte de la constance de la corde BD et aussi de l'angle (iAo ; l'arc BD qui mesure cet angle invariable, et auquel correspond une corde BD invariable, doit appartenir à une circonférence de rayon invariable et passant par le sommet A de l'angle.

Je dis qu'un point quelconque E de cette circonférence décrit une droite e passant par le point A. En effet, à l'arc invariable BE doit correspondre un angle constant ^Az.

9''. — Il existe donc dans le plan mobile une infinité de points (situés sur une circonférence) qui décrivent simultanément des droites se coupant en un même point.

Par suite, on peut remplacer le mouvement imposé par le glissement sur deux droites rectangulaires fixes As, Ao, d'un segment invariable EF lié au plan mobile.

L'opération est possible d'une infinité de manières ; il suffit que EF soit un diamètre du cercle ci-dessus construit.

,t'. - Soit enfin à déterminer la trajectoire d'un point quelconque V du plan mobile.

C'est une ellipse, puisqu'on l'obtient en imposant à deux points E, F d'une droite PO passant par P, des trajectoires rectilignes et rectangulaires (v!} 108). Les axes de l'ellipse sont dirigés suivant Ae et Ao leurs demi-longueurs sont égales à EP et FP.

4"". — Si, conservant l'angle ^Ac, nous modilions la longueur BD nous obtenons des ellipses liomotliétiques des précédentes. La pro position est évidente d'après la théorie des projections qu'on trou vera au (chapitre WIL Le point de vue est un point d'une perpen diculaire élevée en A sur le plan fixe. Les plans de projection son^ tous parallèles entre eux et au plan fixe.

J**. Le centre instantané de rotatifin, correspondant à la positioi actuelle du plan mobile, est le point C diamétralement opposé ai point A. On l'obtient en menant des perpendiculaires en B sur Ap en D sur Ac, en E sur Ae,...

Le lieu C des points C sur le plan fixe est donc une circonférenc( de centre A et de rayon AC = 2 OC . Le lieu F des points C sur h plan mobile est évidemment le cercle de centre O et de rayon AC' lui-môme. A^ous montrerons plus loin (il est du reste évident, en vertii de la définition du roulement sans glissement et de la remarque qui termine le t^** du ,^ 129) quon obtient le même mouvement du plai< mobile en faisant rouler sans glissement le cercle F sur le cercle C Le mouvement est épicycloïdal : le dispositif est connu sous le non d'engrenage de Lahire {^ 102).