Formule du binôme

Pour obtenir la différentielle d'une puissance , commençons par établir la formule du binôme dont l'emploi est fréquent. i\ — 11 s'agit de calculer (a+i))"'. Un calcul direct donne les formules :

{a + hY = a+b, {a-^hY = a^-\-2ab-irb\ {a + bY = a' + 3a'h-\-3ab'-\-h\ (a 4- by = a' + fi^a'b + Qa^b^ + ^ab' + M. et ainsi de suite. Plusieurs constatations sont immédiates.

D'abord le développement de [a-\-bY' contient m-f-l termes. Ensuite la somme des exposants de a et de h dans tous les termes du développement est égale à m. Enfin les coefficients également •distants des extrêmes sont égaux.

Ces simples remarques évitent beaucoup d'erreurs.

I^s formules précédentes rentrent dans la formule plus générale :

[aJ^h)- = a-'+^a--^b + ^^'^'^^^^^^ (1)

le développement doit être continué jusqu'à ce que le nombre des termes soit m-[-i, ou, ce qui revient au même, jusqu'à ce que le coeiïicient s'annule.

^. — Cette constatation n'est pas une preuve; rien ne dit que la formule val.ihle pour m = 4, le sera pour m = "). Prouvons-le à l'aide du raisonnement général qui sert à établir la légitimité d'une formule quelconque de récurrence. Démontrons que si la formule vaut pour la puissance m, elle vaut encore pour la puissance m-|-l.

3°. — Considérons deux termes consécutifs quelconques de la formule donnant (a -|- b)"^ :

n + lî ^ ^

On écrit pour abréger : 1.2.3 ... (ai -}- l ) = n -j- 1 ! ,

et on lit factorielle n-\-\.

Par exemple : 3! =1.2. 3 = 6; 3! 4 = 4!.

Quand nous multiplierons par a-\-b le développement de [a-\-bY pour obtenir [a-\-bY^\ le terme en a»»--- »/;'»+ » proviendra de la multiplication par b du premier terme écrit ci-dessus et de la multiplication par a du second. On vérifiera que seuls ils peuvent intervenir dans la production d'un terme en a*""""^ />* ^ '.

Le coefficient de ce terme est la somme des coefficients, soit :

n-fil \ "• " + ^ / '"n^-2l

qui est précisément le coefficient de a'"~"~^ />" ' * dans le développement de (a -|- A)"* ^ * au moyen de la formule ( i ) appliquée à l'exposant ni-\-[. Ce qui légitime cette formule. 4"". — Appliquons à un cas particulier. Soit :

(a 4- />)^ r= a* -f ïa'b + 6a'-b- + ïab' + b'.

Considérons les deux termes : ïa^b -\- Qa^b^.

Quand nous multiplions par a-j-/), le terme en a^/>* du déve-

loppement de [a-\-JjY provient de la multiplication de a^h par b et de a^h^ par a. Nous aurons donc dans [a-^bf le terme :

(a 4- bf = a^-\- ^a'b + 1 Oa^/)- + 1 Oa^/)^ + ^ab' + A^