Podaire d'une ellipse par rapport à son centre
/". — Prenons Tellipse (iig. 120) sous les formes équivalentes
Les équations de la tangente AI* en un point A, et de la nor-
Fig. 120.
maie OP abaissée de l'origine 0 sur la tangente, sont (^ 112) :
Le système j:, ?/, qui satisfait à ces équations, représente les coordonnées du point P.
Elevons les équations (l) au carré; additionnons membre à membre: il vient :
OPv
r c- 1^ rr r cos^* u , sm' u "1
Exprimons u en fonction de 6. Écrivons que la pente de la droite OP est tg G :
sm- u
cos^ u
/)«sin-0 ~ a-cos-e ~ a- cos* ô + />- sin- 6 * D où enfin : /)-r=a-cos-0-f-^^"sin-e. (2)
Telle est l'équation de la podaire en coordonnées polaires /), 6.
GÉNÉRALITÉS SUR LES COURRES
^. — Cette podaire est utilisée à chaque instant en Optique ondulatoire. En effet, quand une vibration transversale elliptique tombe sur un nicol, la vibration rectiligne qui passe, a pour amplitude la longueur du rayon vecteur de la podaire parallèlement à la section, principale du nicol (fîg. 121).
Partant de là, on retrouve l'équation (2) plus rapidement.
Soit en effet :
gr= a cos u,
h sin u, (3)
les vibrations dirigées suivant les axes, vibrations qui constituent Tellipse par leur résultante; la variable u est de la forme co^. Considérons une droite Oj' faisant l'angle 9 avec Ox, Projetons les vibra- Fig. 121.
tions (3) sur cette droite, et
composons ces projections en une résultante unique. Faisons de même pour une droite Oyi' à angle droit de la première. On trouve :
ç = a cos 0 cos u -\~ h sin 6 sin u=p cos [u — a),
r/ = — a sin 0 cos u -\- b cos G sin u=:p' sin [u — ,3) •
Identifions ; il vient aisément :
p^- = a- cos- 6 -\- i>- sin^ 6, />'- = a'- sin^- 0 -f /)- cos^- G.
S-, On a : p'- + p'^' = a^~ + b'-, (4)
la somme des carrés des rayons vecteurs rectangulaires de la podaire est constante.
L'interprétation optique de cette proposition est fondamentale. L'énergie potentielle ou cinétique d'une vibration rectiligne est proportionnelle au carré de son amplitude. L'équation (4) nous apprend qu'on peut décomposer arbitrairement la vibration elliptique transversale en composantes rectilignes rectangulaires, sans que l'énergie totale soit modifiée.
4°. — - L'équation de la podaire en coordonnées cartésiennes est :
{x--{-y^~Y = a^^x'^ + bHj\ (5)
Nous savons déjà (§ 147) qu'elle est tangente à l'ellipse aux extrémités du grand axe et du petit axe. Cherchons quelles sont les ordonnées maxima. Différentions (5) :
(2^2 ^ 2y^- — a^)xdx -\- {2x'~ -f- 2y^- — b^)ydy = 0.
Les maximums ou minimums de y correspondent à la condition
dy ', dx=zO
184 CO VRS DE MA THÉMA TIQ L'ES GÉAÉBALES
Ils sont donc à l'intersection de la podaire et du cercle dont le centre est 0 et le rayon a '. \2 =OJ\a. Pour qu'ils existent, il faut que ce cercle coupe effectivement la podaire. Comme celle-ci est extérieure à Tellipse, il faut qu'il coupe l'ellipse.
D'où la condition :
\'2 a^<2L-, ou : e<-^.
La valeur de y pour les maximums et minimums est :
La condition a- <i2b^ équivaut à écrire : ?/«>>/>. Elle exprime que la développée de l'ellipse est tout entière intérieure à l'ellipse (v^ H 6), comme on le verra en posant (fîg. 88) :
Elle exprime encore que la podaire a des points d'inflexion.
