Définition du signe d'intégration

/". — Nous désignerons par le symbole :

S= / ydx^ Taire MNPQM, limitée par la portion MQ de l'axe Ox ^ par les

Fig. 122.

ordonnées MN, PQ, d'abscisses Xq et ic, enfin par la portion NP de la courbe INPP'... dont l'équation est y=zf[x).

Xq et X s'appellent respectivement la limite inférieure et la limite supérieure de ïintégrale S.

L'intégrale s'énonce : somme de x^ à x de ydx.

Supposons fixe l'ordonnée MN, et déplaçons l'ordonnée PQ, ce qui revient à modifier la limite supérieure x\ l'aire est elle-même modifiée. Nous pouvons donc la considérer comme une fonction de x. Par suite, en nous donnant la courbe y:=zf(x)^ et l'ordonnée Xq à partir de laquelle nous comptons les aires, nous définissons une certaine fonction de x :

S = (^{x)z= f ydi

^ Xq

Il résulte immédiatement des définitions qu'on a :

Car l'intégrale étant prise entre deux ordonnées identiques, l'aire définie est évidemment nulle.

i:^\ — Changement de la limite inférieure. Comparons les deux intégrales :

So= / yclx, S,= I ydx,

où Xq et a?! sont deux constantes. Par définition, on a : Solaire MNPQM, S^ =aiie JKPQJ ; d'où : S, — So :== aire JKNMJ ;

/ ydx — / ydx= / î/Jir = Constante.

%/x, ^Xq Jxy

Changer la limite inférieure revient donc à faire varier d'une constante la valeur que prend l'intégrale pour toutes les valeurs de sa limite supérieure variable x.