Explication du symbolisme; dérivée d'une inté grale

/". - Montrons que le symbole intéyrale ne fait que résumer et schématiser les opérations qu'il faut eirecluor pour calculer l'aire, la courbe y^==f(^x), étant donnée.

La méthode qui se présente le plus naturellement, consiste à tracer des ordonnées suflisanmient voisines, à évaluer l'aire de chaque élément ainsi constitué, enfin à sommer ces aires élémentaires.

Soit un des éléments ABDK : posons AB:=A2r. Remplavons Parc de courbe KD par la corde ED; nous formons un trapèze. Appelons // l'ordonnée moyenne de ce trapèze, ordonnée évidemment équidistante des ordonnées AE, BD; Paire élémentaire a pour expression :

î/Ax.

Opérons de même pour tous les éléments. L'aire cherchée est approximativement :

Syàx, •»"r>

le symbole ^ signifiant qu'on fait la somme de toutes les quantités analogues , comprises entre les ordonnées limites Xq et x.

L'approximation est d'autant meilleure que les ordonnées sont plus voisines. L'évaluation serait rigoureuse si les différences \x étaient remplacées par des différentielles dx; de sorte qu'on a :

/ ydx = \ijniie y y^-^-

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 187

Reste à montrer comment l'évaluation de cette limite est possible, non certes graphiquement, mais grâce à la définition géométrique de la courbe y=zf{x).

^". — Cherchons la dérivée de la fonction :

S = (p(a?)=i= / ydx.

Par définition nous avons :

S[x) = Cydx = aire MNPQM ,

S{x + (Ix) = r " ''\fdx = aire MNP'Q'M ,

S{x-{-dx) — S{x)=SiiTe MNP'Q'M— aireMNPQM^raire QPP'Q'Q, (1) à la condition que dx soit une quantité , non pas petite , mais infiniment petite, c'est-à-dire qui tend vers zéro. La relation (1) n'est rigoureusement vraie qu'à la limite, quand dx s'est annulé. Or, avec une erreur qui s'annule avec dx\ on peut poser :

aire QPP'Q'Q = 7/(/x,

puisque l'aire du triangle curviligne RPP' est un infiniment petit du second ordre (§ 10), rigoureusement négligeable devant l'aire QRP'Q', quand dx s'annule.

Nous avons donc : d . S[x)z=ydx ^ —j — S(a?) = ?/.

D'où cette conséquence fondamentale : Définir une fonction de x par l'aire S(a?) comprise entre la courbe yz=^f(x)^ deux ordonnées [une ordonnée fixe et une ordonnée variable) et l'axe Ox, revient à définir cette fonction par sa dérivée.