Fonction définie par sa dérivée

Ainsi nous aboutissons à une conséquence formulée par les symboles :

= / ydx,

dS dx ^'

Les opérations d'intégration et de dérivation sont inverses. Intégrer la fonction y=zf[x), c'est chercher une fonction S dont y soit la dérivée; S est appelée fonction primitive de y.

Montrons que la définition de l'intégrale est bien d'accord avec cette conséquence. Pour cela représentons par une courbe ABCD ... la fonction y = f[x) donnée, et par une courbe A'B'C ... la fonction S intégrale mesurant l'aire à partir de l'ordonnée d'abscisse a^o (%. 123).

i\ — Aux points C, E, l'ordonnée yz=f[x) change de signe. Gomme nous comptons positivement les aires qui sont au-dessus de Ox (^>0), négativement ceiles ({\xi sont au-dessous (?/ < 0) ,

Fig. 123.

(cette convention résulte immédiatement de notre symbolisme)

l'aire commence à décroître à partir de l'abscisse OC. Donc il existe

un maximum de la fonction 8 = 0(3?) sur l'ordonnée d'abscisse OC.

A partir de l'abscisse OË, l'ordonnée y redevient positive; la

fonction S = (p(x) „ «5 • . , recommence à croî-

tre; donc elle passe par un minimum pour x=:OE.

Nous concrétisons ainsi cette règle qaune fonction est maximum ou minimum quand sa dérivée s'annule (§ 8).

t^**. — La fonction S a une pente dS ', dx d'autant plus grande en valeur absolue que l'ordonnée y est plus grande en valeur absolue ; autrement dit , que la courbe y = f{x) est plus au-dessus ou au-dessous de Or. Donc les maximums et les minimums de y=fix),ie\s que B, D, correspondent aux maximums et minimums de la pente pour S. Aux abscisses p et ^ correspondent des points d'inflexion pour S.

Nous concrétisons ainsi cette règle que les points d'inflexion d'une fonction S ont les abscisses qui annulent sa dérivée seconde (§ 18) :

dx* dx

3°. — Nous savons qu'une fonction définie par sa dérivée, n'est connue qu'à une constante près (§ 7). Cette proposition est concrétisée par la considération des aires. Au lieu de l'ordonnée A'A, prenons 1 1 comme limite de l'aire à évaluer. La nouvelle courbe :

S, =ro,(.r)r= / ydx,

se déduit de la courbe S = o(x), en ajoutant à toutes les ordonnées une quantité invariable A'M, représentative de l'aire l'IAA 1'. On obtient ainsi la courbe en pointillé, qui est la courbe en trait plein transportée de A'M parallèlement à 0//.

Pour la même abscisse , les pentes sont les mêmes sur les deux courbes. Leurs points d'inflexion, leurs maximums et minimums se correspondent.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

4°. — Soit plusieurs courbes :

2/o = AW, yi = fi{^)^ ^2 = AW ••• (1)

Posons : Y^î/o + ^/i +2/2+ •••

On a évidemment :

f y,dx^ I y,dx-j- ...= f\'dx.

Autrement dit, pour trouver la somme des aires limitées par les courbes (1), les mêmes ordonnées et l'axe Ox, on peut procéder de deux manières équivalentes : 1° évaluer séparément 1-es aires et faire leur somme ; 2° construire la courbe Y dont les ordonnées sont la somme algébrique des ordonnées des diverses courbes, puis évaluer l'aire limitée par cette courbe unique.

Inversement soit à calculer : / Ydx

on peut remplacer la courbe Y par un nombre quelconque de courbes telles que la somme de leurs ordonnées soit identiquement ég-ale à l'ordonnée Y, évaluer les aires pour chacune des courbes et faire la somme de ces aires.