Différentielles des puissances

Soit : y = ax'^.

j\ — Supposons d'abord m entier et positif. On a par définition :

dy . a{x -\- i\xY' — ax""

dx Ix

Développons par la formule du binôme :

{x+ àx)- — x"^ = ^x"^-' Ix^ '^^'^^yx-^-^àxY + ...

Quand Aa? tend vers zéro, les termes du second membre, moins le premier, deviennent négligeables devant celui-ci;

d'où : dy =:iamx^~^ dx.

Le principe fondamental donne le même résultat.

Soit /n = 4 .

Posons : y = axztu, dy ^^^adx.ztu -\- adz.xtu-\- ...

Posons maintenant : x = z = t=u.

Il vient : dy = adx . x^ -|- adx .x'"^ -\- ... = iax^ . dx ;

et généralement : dy = amx"'~^ dx.

5**. — Soit m fractionnaire et égal k p [ q. Elevons les deux membres à la puissance y; on a :

y'i^za'^xP. ^ (1)

Différentions les deux membres d'après la règle précédente :

qy'^ -^dy = a'^px^ " ^ dx, (2)

dy ^a^ "^ —~^yax = m —-^—yax=:mx ydXy

et enfin : dy = mx~^ax"'dx = amx"'~^dx\

formule trouvée précédemment.

S°. — Tout nombre pouvant être considéré comme fractionnaire avec telle approximation qu'on veut , la règle se trouve ainsi applicable à toute valeur positive de l'exposant m.

4". — Supposons m négatif. Posons 171 = — n.

y = ax"^ = —zr .

2i COi'RS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

Au lieu de considérer y comme fonction de a?" , considérons- le comme fonction de la variable z que nous poserons égale à x" : z=zx'^ . Il va de soi que rien n'est changé.

Différentions la fonction y Aq z :

1\ ,. / 1 1\ ,. A3 dz

a iim -7- I V \ = — a

dy = acl(~)^a\uJ-j^-^-l)^-

Remplaçons z par sa valeur :

et enfin : dy = niax"' ' ' dx.

La formule est donc absolument générale.

14. DifiFérentielles d'un produit, d'un quotient. /". — Nous avons déjà traité le cas de la dillerentielle dun produit comme conséquence du principe fondamental (§9).

d{xzt ...) = zt...dx + xt...dz-{-...

Divisons les deux membres par le produit :

d{xzt ...) dx .dz j^dt

xzf ~~ "x" "T" T" ' ~/ ' " •

Nous verrons plus tard (§ 197) l'interprétation de cette formule importante dans la théorie des erreurs relatives.

^°. — Soit la fonction : // = - . Par définition, nous avons :

zAx — xAz zdx — xdz

-. /x-\-Ax x\ .. z\x —

En efTet, quand A3 tend vers 0, 3A3 devient négligeable devant 3'.

On a coutume de retenir par cœur ce résultat et les résultats analogues ; c'est déplorable : il y a de meilleures choses à caser dans sa cervelle. Dans la pratique, on doit toujours appliquer le principe fondamental (i^ 9) et écrire :

j dx dz

Nous dilFérentions d'abord par rapport à x en laissant 3 constant, puis par rapport à 3 en laissant x constant. Je n'ignore pas qu'il y aura généralement ensuite à réduire au même dénominateur ; on perdra donc 8 secondes 22 fois dans sa vie. C'est mieux que retenir une formule dont on oublie le sens.

3". — Fonctions composées.

Revenons sur les fonctions composées.

Soit : y = xz, x = au'', z = bu"\

Nous pouvons écrire :

y = abu"" ^ ^ dy = [m-\- n)abu''' + " - ^ g?u.

Procédons autrement :

dy = xdz -\- zdx = bx . mu "'~ ^ du -\- az .nu^~^ du ; dy = abmu '« - « - 1 du -f abnu "'^""-'duzzzz ab[m + /i)m "* + "" ^ (/u.