Interversion des limites. Signe des aires

- On a :

S= / ijdx = — f

ydi

quand on intervertit les limites, on change le signe de l'intégrale.

En effet , pour toutes les valeurs de x , les ordonnées y sont les mêmes dans les deux intégrales.

Mais dx ont

les

chang-é

accroissements de signe , puisque la somme des accroissements doit donner la différence x — x^^ dans le premier cas, la différence Xq — X dans le second.

S"". — Jusqu'à présent nous avons regardé S{x) comme fonction de la limite supérieure. Nous pouvons aussi bien la regarder comme fonction de la limite inférieure, ou mieux comme fonction des deux limites prises pour variables indépendantes (fig. 124).

Posons : S= r f{x)dx = — r f{-r)dx.

u^dn

V'dv

Fig. 124.

Reprenons le raisonnement du § 1^)2; on trouve immédiatement

= — f{u) ; dS = f(v)dv -^ f[u)du.

Ce résultat est, du reste, une conséquence du /". La figure 124 en montre la signification. Quand v croît de c/u, S croît de Si = f[v)dv: quand au contraire u croît de du, S décroît de So = f(u)du.

D'où la variation totale :

dS = Si — S2 = f{v)dv — f{u)du.

S°. — De ce qui précède il résulte qu'on doit poser :

s =£jldx = V[x) — F(x„) = [F(ar) J .

En effet, quelle que soit la limite inférieure Xo, il faut que S s'annule quand la limite supérieure lui devient égale. Quelles que soient les deux limites, il faut que l'intégrale change de signe quand on les intervertit. On a bien identiquement :

Pour simplifier, nous écrirons souvent en omettant les limites :

I fid.r z=z V\x).

Mais il est bien entendu qu'une intégrale dont les limites ne sont pas spécifiées, est encore absolument indéterminée. C'est une aire comprise entre une courbe, l'axe des abscisses, et deux ordonnées qui ne sont pas encore choisies.

/". — D'après nos conventions, les aires peuvent avoir le signe — .

soit quand les ordonnées sont négatives, soit quand les abscisses décroissent pendant l'intégration.

On peut comprendre les deux règles en une seule.

Reportons -nous à la figure 123. Parcourons la courbe ;/ = f{x) dans le sens ABGDE. SurrarcABG, nous avons l'aire à mesurer à notre droite; nous la comptons positivement. Sur Tare GDE, nous l'avons à

Fig. 125

notre gauche; nous la comptons négativement. Prenons maintenant la figure 123. Sur l'arc A à mesurer aABGya à notre droite ; sur l'axe GDA , nous avons l'aire

Prenons maintenant la figure 123. Sur l'arc ABG, nous avons l'aire

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 191

yCDAay à notre gauche. Nous prendrons la première positivement, et la seconde négativement.

Nous poserons :

/ ydx = «ABCya — yGDA^y = ABCOA .

t/ABCDA *

En définitive, décrivons le contour qui limite une aire : si elle est à notre droite, nous la prendrons positivement; si elle est à notre gauche, nous la prendrons négativement. Nous pouvons évidemment remplacer cette convention par la convention inverse.

5\ — Considérons les deux courbes ABC, ADG, comme parcourues dans le même sens ; appelons y et ?/' leurs ordonnées pour la même abscisse. Nous pouvons aussi bien écrire :

ABCDA= r\jdx~ r\j'dx= r\y — rj')dx.

•^^0 Jocq Jxç,

Pratiquement c'est ainsi que se font les calculs.

^°. — Il arrive qu'une courbe délimite une aire nulle (fig. 126).

Par exemple, d'après nos conventions, l'aire ABCGA est positive, l'aire GDEF est négative.

La somme de ces aires peut être nulle. On rencontre souvent, en Physique, la condition qu'une courbe délimite une aire nulle au sens qui vient d'être précisé (courbe représentative des gaz,...)