Pente moyenne ; ordonnée moyenne. Valeur efficace

/°. — Soit S(ir) une fonction de la variable x. Supposons que celle-ci passe de x^ à x^=:^XQ-\-h. Nous pouvons appeler pente moyenne de la fonction S{a?) dans l'intervalle de x^^k x^^ le quotient :

Pr. = [s{x,)-^{x,)]:h.

G'est la pente de la droite AB qui passe par les extrémités des ordonnées extrêmes (lig. 127 à gauche).

Soit f[x) la dérivée de S par rapport à x ; f[x) = dS '. dx. G'est la pente vraie p de la courbe. Je dis qu'on a :

la pente moyenne dans un intervalle est égale à l'une des valeurs de la pente vraie dans le même intervalle. G'est évident; car, si pour

Fig. 126.

une certaine valeur de x, on a p^Pm^ il ^^^^ P^^ compensation que pour d'autres valeurs on ait p<iPm-

Puisque par hypothèse la dérivée est continue , on aura assurément jD=ijD,^, pour au moins une valeur de x.

^°. — On peut énoncer la proposition d une manière différente.

Représentons (fig. 127 à droite) une fonction y = f[x).

L'aire A'ABGDD' a pour expression :

S(,r,)-S(.ro)r=yV(.r)J:r.

Il est évident qu'elle est égale à un rectangle de base h et dont la

hauteur est intermédiaire entre la plus petite et la plus grande des valeurs que prend f{x) dans l'intervalle de x^ a Xi. Puisque f{x) est continue par hypothèse, l'aire est donc égale au produit de h par l'une des valeurs de f(x) dans cet intervalle. D'où la relation :

S(.rO — S(.r„) = h . f{x,, + 0/0, 0 < 0< 1 .

Ainsi l'on a :

f{x)dx.

Cette formule définit d'abord ce qu'on appelle valeur moyenne de la fonction f[x) dans l'intervalle de .r^ à a?, ; elle nous apprend de plus que la valeur moyenne est une des valeurs de la fonction dans cet intervalle.

3'\ — On appelle valeur efficace, la racine carrée de la valeur moyenne du carré d'une fonction :

x)dx.

2rJ

Par exemple, soit : ?/ = Asin-7p— , une fonction sinusoïdale.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

Sa valeur moyenne pour une période est évidemment nulle; 1 __ positive est égale à l'aire négative. Cherchons sa valeur efficace '(§ 48)^

aire

2rJ ^^ A' sin-' -7p- at = -^

cos-^jJ/^-

.Vefl=-y|-=:0,71 .A.

Cette formule est fondamentale dans Fétude des courants alternatifs.

156. Ordonnée moyenne d'un arc parabolique du second ou du troisième degré.

/". — Arc DU SECOND