DEGRÉ
Par hypothèse , la courbe (fîg. 128) est représentée par l'équation :
y ^= Si -\- bx -^ Cic^,
qui convient à une parahole dont l'axe et par conséquent les diamètres (§ 126) sont parallèles à 0;/ (§ 106).
Soit î/o, î/i, î/2, les ordonnées équidistantes qui correspondent aux abscisses : x^^ x^=^X(^-\-h^ x^=^x^^-\-2h.
Transportons l'origine en a, ce qui ne change pas la forme de l'équation et modifie seulement la valeur des coefficients. On a :
S = 2hy„, = r\a + bx + ex') dx = 2ah + ^bh' + ^
Déterminons les constantes a, i), c, d'après les données du problème :
y^=ia^ yi = a-\- bh-\-ch'^, D'où: 6y,„r=î/,-[4î/i4-î/2.
y, = a + 2bh + ^ch\
On a : y,-{-y, = 2^D, %, = 4aD4-4DC; ^^=aD + yDG.
L'extrémité E de r ordonnée moyenne est donc aux deux tiers de la distance DC .
Supposons l'arc donné par ses ordonnées extrêmes î/o et y^, et par ses tangentes aux extrémités. Il résulte des propriétés de la
Cours de Mathématiques générales. — H, Bouasse. 13
parabole du second degré (§ ^26) que ces tangentes se coupent en T sur l'ordonnée SG diamètre conjugué de AB, et que DG :r=:CT.
Le point G est donc connu , et Ton est ramené au cas précédent.
^". — Arc du troisième degré.
Soit î/o, î/i, 2/2, î/3, les ordonnées équidistantes qui correspondent aux abscisses :
Transportons Torigine en a. On a :
S = 3hy^=j {a-{-Jjx-\-cx'+fjx')dx = :iah+ ^ bh' + ^ch^+ ^gh\
Fig. 129.
Déterminons les constantes a, />, c, f/, d'après les données du problème :
.Vo = a, î/, r= a + />/i + c/i* + gh\
1/, =r a + 2bh + 4c/t^ + ^gh\ y, = a-{- Uh + 9c/i^ + 21gh\ On vérifiera immédiatement la formule :
^ym = }/o + %i + %2 + i/3.
On a : y^-]-y^z=2zG , 3î/i + %2 = 66F; ?/„. = IG + j GF .
L'extrémité E c/e l'ordonnée moyenne est donc aux trois quarts de la distance GF .
Supposons la parabole donnée par ses ordonnées extrêmes y^ et y^ et par ses tangentes aux extrémités. On a :
FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 195
D'où immédiatement : 2i/^ = L^-\-- 2/o M + (y, — ^ y',h
Donc, pour obtenir le point E, on détermine les intersections H e^ K des tangentes aux extrémités de Varc de parabole, avec les ordonnées qui sont au sixième de la distance a^. On joint H e^ K, et on détermine le milieu du segment HK .
157. Obtention de fonctions nouvelles; équations différentielles.
Effectuer rintégration : ^=^ / f{^)dx=z / ydx^
c'est donc trouver une fonction S[x) qui admette yr=:f(^x), comme dérivée ; c'est trouver la fonction primitive de y. Il est essentiel de remarquer que le plus souvent S n'est pas exprimable avec les fonctions particulièrement simples auxquelles le lecteur est habitué : sinus, cosinus, ... Au contraire, nous verrons que les logarithmes, les exponentielles et une infinité d'autres fonctions employées pour représenter les phénomènes, se présentent tout naturellement comme mesurant les aires limitées par des courbes de construction simple. Toute fonction y^=zf(x)^ peut servir à définir par intégration une nouvelle fonction S{x) , à laquelle nous sommes libres de donner un nom et une place dans notre catalogue de fonctions étudiées une fois pour toutes. Il suffit d'en dresser des tables numériques à l'approximation jugée nécessaire, pour que la fonction S(.t) devienne utilisable dans la représentation et l'étude des phénomènes, au même titre que le sinus et le cosinus.
La méthode ici employée pour définir de nouvelles fonctions , est un cas particulier d'une méthode plus générale que nous étudierons au Chapitre XIII.
L équation: -^ = 2/^ ~d^=^f^''^^
est la plus simple des équations différentielles , c'est-à-dire des relations imposées entre les dérivées successives d'une fonction et la variable. Nous cherchons ici une fonction S(^) dont la dérivée soit une fonction connue de la variable. Autrement dit, nous cherchons quel doit être le déplacement d'un mobile, pour que sa vitesse ds \ dt soit une fonction donnée à l'avance du temps t :
