Règles d'intégration

Dans le cas où S[x) est composée de fonctions usuelles, il n'est

196 COCUS DE MATHÉMATIQUES GÉyÉRALES

pas toujours commode de les découvrir. Nous énoncerons d'abord quelques règles dites d' intégration qui facilitent les tâtonnements.

/". — L'intégration va de soi quand la quantité sous le signe / est

une différentielle exacte; c'est dire qu'on a :

Prenons en elfet la dérivée des deux membres ; il vient (§ 152) :

Les fonctions S et f ont môme différentielle ; elles ne diffèrent que par une constante (§153). Mais S(.r) doit s'annuler pour x = Xq, en vertu de la définition de l'intégrale ; donc :

!2". — Le procédé connu sous le nom à^ intégration par parties repose sur l'identité (§ 9) :

d{uv) = udv-\-v(Iu, udv = d[uv) — vdu, (1)

où u et V sont des fonctions quelconques de la variable.

Intégrons les deux membres de l'équation (1) entre les mêmes limites, ce qui est permis en vertu du 4" du § 153 :

/ iidv = / d(uv) — / vdu = [uv — u^Vo) — / vdu ;

./•'•(> '^J'o •yj-n -y^

Uq, Vq^ sont les valeurs de u et de u pour x=^Xo.

Ainsi nous avons remplacé la recherche de l'intégrale :

/ udv^ par celle dv l'intégrale : / vdu,

qui peut être plus facile.

.V°. — Changement di; variable.

On ramène souvent à des formes connues, typiques, canoniques ^ par un changement de variable.

Par exemple :

Revenant à la variable primitive (|^ 56) :

arcsin z.

^^^;^^__^__ r=rarc sin — -\- Constante. \a^ — x^ ^

De même : x^ -\- 2ax -\- b = {x -{-a)- -\- b — a- = z--[-h — a',

en posant : 3 = .r-j-a.

On trouve ainsi pour L^ a- (^ 60) :

/ dx 1 X — T— a

I — =,-]- ô r -T = ,, arc tg ,—-1 — 4- Constante.

I x- + 2ax-\-b y//, — a- ^ \b — a'- ~

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

4". — Décomposition.

Fig. 430.

On sépare la fonction en une somme algébrique de plusieurs autres. Nous aurons l'occasion de donner maints exemples de cette mé- "^ thode.