Aire d'une para- c bole
Considérons la parabole générale :
y = ax'' ;
nous supposons n positif et o inférieur à l'unité ; n est d'ailleurs quelconque.
L'aire OAB a pour expression
S = Çyd. = ra.'d. = -^ r." - .T= ^"^ 'i
Jo Jo 'i+l L Jo «+l
On peut encore écrire : S
Or : xy = aire OGAB ;
donc: aire OGAO = ^^ [l --^] = ^^^.
^'^^^^^^^- aire OGAÔ^|-
Pour la parabole ordinaire, /ir=l ; 2; l'aire OAB est deux fois Faire OC A. Il importe peu que les échelles ne soient pas les mêmes pour les X et les y.
160. Aire limitée par la sinusoïde ou la cosinusoïde. Théorèmes sur les fonctions périodiques.
/°. — On a immédiatement :
xy
Joco
sin X dx = — (cos x — cos x
o), fl
cos xdx = sin x — sin Xq
Le lecteur se reportera à la figure 40 pour mieux comprendre le sens de ces relations.
^°. — Généralisons. Soit une courbe périodique quelconque yz=f(x)^ mais telle que pour une période la somme des aires soit nulle. La nouvelle fonction :
S[x) == i f[x)dx,
est périodique et admet la même période que /(a?). Soit J la période;
on a : jf{x)dx = 0, l^f{x)dx= j "^^ f{x)dx,
en supposant que x contient n périodes complètes plus une fraction de période. En effet, nous pouvons écrire :
j:-£+r+j:+-+fi=j:-
Mais retrancher un nombre quelconque /i; de périodes ne change pas la valeur des ordonnées de la courbe à intégrer.
D où la conséquence : 1 z=:l j
S". — Supposons que pour chaque période l'aire ne soit plus nulle. Soit So sa valeur. On a :
f7(,r)</.r = /iS„+ p "''f{x)dx.
Jo c'O
4 . — Revenons au cas t^". Si la limite supérieure x croît indéfiniment, l'intégrale ne tend vers aucune valeur déterminée ; elle oscille entre un maximum et un minimum.
•oc
Par exemple : / sin.r </./•,
est un nombre quelconcjuo compris entre 0 et 2.
Mais supposons la l'onction périodique f[x) multipliée par une fonction <^[x) qui décroît constamment quand x varie de 0 à ^c , et s'annule pour x infini. L'intégrah' :
£ f(.r)o(.ryU,
converge vers une valeur bien déterminée. Nous montrerons en effet qu'alors on peut la mettre sous la forme dune série infinie à termes décroissants, alternativement positifs et négatifs (§ 249, 3").
Nous trouverons au x ^^ 270 et 309 des applications de cette remarque.
