ED CD CD

sin arc , — — = arc sm

Ne pas oublier que les arcs trigononiétriques ne sont pas des lignes^ mais des rapports de lignes au rayon.

On a : aire OGD = ^

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

En effet, l'aire du cercle entier est za^ pour un arc 2tc * l'aire du secteur par unité d arc est r.a^ ; 2:: = a^ ; 2 ; l'aire du secteur dont l'arc est CD ; a, a la valeur ci-dessus écrite. D'où :

aire OGD = -^r arc sin

L'aire du triangle

ODG est :

DG : 2 = xy

'x\Ja -x^

arc sin

OGX En définitive : ai

^°. — Voilà pour le cercle. On sait que jDOur passer à l'ellipse, il suffit de projeter orthogonalement sur un plan II faisant avec le plan 11' du cercle un angle dont le cosinus est b \ a. Autrement dit, il suffît de multiplier par b \ a (§107).

On a donc :

aire OBHG

bx \]a^ — x'^ Ta

ab

-fj- arc sm — 2 a

En particulier, l'aire du quadrant s'obtient en posant

cT

Fig. 431.

D'où : pour le cercle, ^a^ ; 4 ; pour l'ellipse, r.ab \ 4. ,^°. — ■ Reprenons le calcul par intégration. On a :

pour le cercle, y = \/a^ — x^ ; pour l'ellipse, y = — ^'a- — x- .

Les ordonnées de l'ellipse sont les ordonnées du cercle multipliées par b '. a\ les limites d'intégration sont les mêmes : les aires des trapèzes curvilignes sont, par suite, dans le rapport b \ a.

Nous pouvons donc nous borner au cas du cercle.

Il s'agit d'obtenir l'intégrale :

8= r^/a^ — x^ dx.

Intégrons par parties (§ 158) :

x^dx ,— =- , a^dx

\fa'

D'où (§ 153) :

Enfin (§ 56) :

dx —

y/a^ — x^ dx —

^^^rz:^dx==[^^^^f^^

2\/a''—x' a^dx

2\Ja'

7^ dx =

x\Ja^ —

+ rt . a.

-r- arc sm — .

Pour effectuer la dernière intégration indiquée, on écrira (§ 158) :

ër=''©V'-lv/-