Moment statique d'une aire plane : axe neutre

/". — L'aire limitée par la courbe fermée ABCDA est (§ 154) :

S= / ydx — / y'dx ; nous écrivons pour abréger : S= / ydx.

Ceci posé, on appelle moment statique de l'aire par rapport à la droite Oa? (fig. 132) l'intégrale :

cT

Fig. 132.

9". — Cherchons comment varie le moment statique quand on déplace parallèlement à lui-même l'axe Ox par rapport auquel il est pris. Transportons-le en OV distant de a. Le nouveau moment statique M' est :

[' = 9- / (.y — aYdx = M — ai ydx + ^ / ^x. La dernière intégrale est nulle, car elle vaut par définition :

r^dx— r'dx=ù.

Il reste

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

Il est donc toujours possible de trouver une droite telle qu'on ait : M' = 0, M==:aS.

On l'appelle axe neutre. Le moment statique par rapport à une di^oite quelconque est égal au produit de l'aire S par la distance de cette droite à l'axe neutre qui lui est parallèle.

S"" . — A chaque direction correspond un axe neutre. On démontre que tous ces axes passent par un même point qui est le centre de gravité de l'aire. Mais cette proposition nous étant inutile ici, je n'insiste pas (voir Mécanique).

4\ — On ramène le calcul des moments statiques au calcul d'une aire. Il suffit de tracer une courbe dont les ordonnées soient égales à la moitié du carré des ordonnées de la courbe proposée.

Il y a, dans ces calculs d'aire, des questions de signes avec lesquelles il faut que le lecteur se familiarise.

Prenons comme exemple simple le cas d'un triangle AKC ; il est placé de manière que Ox soit un axe neutre. Quand on parcourt le triangle dans le sens des flèches, toute Taire est à la droite du promeneur : elle est donc entièrement positive .(fig. 133).

Construisons la courbe dont les ordonnées sont égales aux carrés des ordonnées de la première. Nous obtenons des arcs de parabole et une droite. Parcourons la courbe dans le sens des flèches, sens imposé par le sens dans lequel on parcourait le triangle. Nous trouvons une aire positive BaP'B et une aire négative BFsyB. Elles sont égales dans le cas de la figure 133.