Moment d'inertie d'une aire plane

y®. — On appelle moment d'inertie d'une aire plane par rapport à Ox l'intégrale :

Fig. 133.

i / y^dx=lf y^dx-^J^ y'^dx.

Cherchons comment varie le moment d'inertie quand on déplace la

droite 0.r parallèlement à elle-même. On a par rapport à ()'./' :

l'=zj / {y—aydx = l — a I yH.r^3} j yd.r — ^ j dx.

La dernière intégrale est nulle. Il reste :

r = I — 2aM + â^S = 1 — 2aM' — a^S. La relation se simplifie quand O'x est axe neutre; M'=z:0. Il reste : 1 = 1+ ^'S.

Le moment d'inertie I par rapport à une droite quelconque est égal au moment d'inertie V par rapport à l'axe neutre parallèle à cette droite, plus le produit de l'aire par le carré de la distance des deux droites.

De tous les moments d'inertie par rapport à des droites parallèles, le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre est minimum.

On généralise tous ces théorèmes en Mécanique.

^". — On ramène le calcul des moments d'inertie au calcul dune aire. Il suffit de tracer une courbe dont les ordonnées soient égales au tiers du cube des ordonnées de la courbe proposée.

La considération des moments statiques et des moments d'inertie des aires, planes est fondamentale dans la théorie de la Résistance des matériaux, dans les Constructions navales, etc. etc..

Planiinètres.

Détermination des aires. Intôyraplies.

Nous étudions dans les paragraphes suivants les méthodes qui permettent de calculer les aires, de les mesurer mécaniquement, de déterminer mécanicjuement les moments statiques et les moments d'inertie, d'obtenir mécaniquement la courbe intégrale.

Signalons d'abord la méthode très précise qui consiste à tracer la courbe y=f[x)^ à grande échelle sur du carton quadrillé épais, à découper le graphique suivant l'axe des abscisses, la courbe et un certain nombre d'ordonnées, et à peser les morceaux ainsi obtenus. L'industrie fournit du papier assez homogène pour que les poids soient sensiblement proportionnels aux aires.

165, Formule de Poncelet, Divisons le segment 00' (aux extrémités duquel sont les ordonnées qui limitent l'aire à évaluer) en 2n parties égales, de grandeur h. Calculons ou mesurons sur notre graphique les 2/? -\- 1 ordonnées orrespondantes : ?/„, ?/i, ... y^n-

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

/". — Aux extrémités B, G, D, ..., des ordonnées impaires, menons des tangentes à la courbe. Les n trapèzes ainsi formés ont respectivement pour aires :

2A2/i, 2%3, 2%„ ..., La somme de ces aires s'écrit :

Remarquons qu'il est inutile de mener effectivement les tangentes. Tous les trapèzes passant par le point B (par exemple), et limités aux ordonnées î/o et y. 2, ont même aire.

Si nous considérons en particulier celui qui est formé par la tangente , c'est en vue de déterminer plus loin une limite de l'erreur commise.

Fig. 134.

5". — Traçons les cordes joignant les extrémités des ordonnées précédemment utilisées. Nous obtenons ainsi n — 1 trapèzes; la somme de leurs aires vaut :

Ajoutons la somme des aires des deux trapèzes terminaux dont l'un est représenté en OABD. Elle vaut :

D'où : S2 = Sj + -y [(î/o + y.u) — (2/1 + 2/2n-i) I .

Si nous avons pris soin d'opérer sur un arc de courbe dont la courbure conserve le même signe en tous ses points , l'aire à évaluer est comprise entre les deux aires Sg et S^. Nous pouvons aisément déterminer une limite de Terreur: elle est :

Le lecteur trouvera aisément une représentation graphique de cette quantité.

On pourra prendre pour valeur de l'aire la moyenne (So + Si) .' 2.