Formule de Simpson

/°. — Par trois points d'abscisses équidistantes 0, /i, 2/i, et d'ordonnées s, 3', 3", faisons passer un arc de parabole (§ 156) :

y = a -\- bx -\- cx^- . (i)

Les coefficients a, b, c, sont déterminés par les conditions :

3 = 3, z' =^a-\- bh-\-ch-, z" = a-]-2bh -\- ich'^.

L'aire limitée par la parabole (I) est :

ar= / ydx = \ax+^-^ + ^T = ^{3a + 'Sbh-\-ïch'l

Exprimons-la en fonction de 3, 3', z" . On trouve aisément : ■.i. = k{z+lz' + z").

^°. — La méthode de Simpson revient k diviser le segment 00' en 2/1 parties et à remplacer par des arcs de paraboles les n arcs que déterminent les ordonnées paires.

Les aires limitées par ces paraboles ont pour expressions :

{h : 3) (//. + %.+ y,), (h : 3)(y, + 4.v, + .,/,j, ... On trouve immédiatement pour leur somme :

Remahqi.e L

Si la courbe présente un point d'inllexion, on ne peut évidemment pas l'assimiler à un arc de parabole passant par ce point. La méthode précédente n'est applicable (|ue si le point d'inflexion se trouve justement sur une ordonnée paire, c'est-à-dire au point d'aboutissement de deux arcs appartenant à des paraboles différentes. On sera généralement conduit à diviser l'aire en deux parties séparées par l'ordonnée du point d'inflexion, et à les évaluer séparément.

On peut encore généraliser la méthode de Simpson, et utiliser un arc de parabole cubique (§ 156; voir aussi >^ 172).

Remarque IL

Si les ordonnées sont fournies par l'expérience, elles ne sont généralement pas équidistantes. On })eut procéder alors de deux manières.

/°. — - On détermine une courbe passant au mieux (§ 263) par les points expérimentaux; elle permet de calculer des ordonnées équidistantes.

t^°. — Avec un pistolet, on trace au jugé une courbe régulière entre les points déterminés par l'expérience; on mesure sur le graphique les ordonnées équidistantes. Ordinairement la seconde méthode, plus grossière, est largement suffisante. Mais on n'empêchera pas les expérimentateurs de s'exagérer la précision de leurs expériences.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES