Fonctions homogènes

y°. — Une fonction f[x^ ?/, a, ...) est dite homogène de degré m quand on a identiquement :

f{tx,ty,tz,...) = t-f{x,xj,z,...). (1)

En multipliant par un nombre quelconque t toutes les variables ^ on multiplie la fonction par la puissance m de t.

Ainsi la fonction : ax^-\-2bxy -^-cy"^ ,

est homogène du premier degré en a, b , c ; elle est homogène du second degré en x, y.

S°. — Posons tx=^i ; la formule de définition (1) s'écrit :

La fonction homogène est donc égale à une puissance de l'une quelconque x de ses variables, multipliée par une fonction des rapports de ses autres variables à x.

Ainsi : ax-- + 2hxy + c,f ^ax^[i +2j^ + ^^].

3". — Soit l'équation : f[x, y, z, ...) = 0^ où f est une fonction homogène de degré m. On a en vertu du ^^^ :

■Kf. -:,-)=o,

On peut donc remplacer les variables pav des valeurs proportionnelles.

4°. — D'après la définition, on peut écrire :

f[{i + ^>, (1 + Oy. (1 +e>, •••] = (1 + ^)Y(^, y, 2)-

Supposons £ infiniment petit ; développons le second membre par la formule du binôme ; négligeons les puissances de £ supérieures à la première ; il vient :

f[{x + ,x),{y-{-Eij),{z-^zz),...]—f{x,y,z,) = mef{x,y,z). Mais le premier membre est la différentielle de f(x,y,z) par rapport aux accroissements zx, ey, ez, ...

On a donc: e[.|^ +^^ + . |f + ...] = «eA;

et enfin: .^ + ,^ + , |f + ... = ^^;

relation caractéristique des fonctions homogènes de degré m.

Par exemple, soit la fonction : ax^-\-2bxy -^cy"^.

^^* • |~ = 2aar + 2%, ^y=^bx + 2cy-

x{2ax -\-2by)-{- y(2bx + 2cy) = 2{ax'- + 2bxy + et/').

16. Expressions qui se présentent sous une forme indéterminée.

/". — Rien ne vaut, pour bien comprendre la nature de la dérivée, l'étude de certaines fonctions qui se présentent sous la forme 0 ; 0 pour une valeur de la variable. Remarquons qu'il en est toujours ainsi pour la dérivée : c'est un quotient dont les deux termes tendent simultanément vers 0. Nous avons expliqué que l'indétermination serait réelle si on se bornait à considérer la valeur limite des deux termes; elle disparaît si l'on considère des valeurs voisines de 0, mais finies, de ces deux termes : leur quotient est alors complètement déterminé, et cette détermination persiste si petits qu'ils soient.

D'où par extrapolation la valeur de la limite, quand ils s'annulent.

i^**. — Soit la fonction : y

Pour x:=za^ les deux termes s'annulent : il y a indétermination. Considérons donc des valeurs de x voisines de a et cherchons ce que devient le rapport. Mais chercher la valeur de z = f(x) pour des valeurs de x voisines de a [^ 8, ,'?''), revient à calculer la différentielle (h en fonction de la dilTérentielle <lx et à remplacer x par a dans le résultat :

ax i\x

[d{x^ — a^) pour x voisin de a]=:[2x\ ^^^dx = 2a.dxy

\^d[x — a) pour x voisin de a] = dx.

Pour des valeurs de x voisines de a , on a donc : yz=2a. Nous donnerons à y cette valeur quand x est rij^oureusement égal à a. Ce résultat était du reste évident a priori, puisque

qui vaut 2a pour x = a.

fix) D'une manière générale, soit : y= ' i , avec les conditions

Pour déterminer la valeur de y pour x = aj nous écrirons :

fia + \x)-f{a) f(a + A^) -/"(a) . 9(£+dx)-9(a) ^"1"-^^— (p(a-fAa;) — ç(a)-~ \x ■ \x

et enfin quand ^x et par suite A?/ tendent vers 0 :

Le symbole f'[a) représente la valeur que prend la dérivée de f[x) par rapport à 'x, quand x est égal à a.

S"". — On ramène immédiatement au cas précédent les expressions qui se présentent sous la forme 0 X '^c? ou oc I oc. En effet, on peut écrire dans le premier cas :

On est ramené à la forme 0 ; 0.

On a dans le second cas :

On est encore ramené à la forme : 0 .* 0.

Le principe est toujours le même. L' indétermination tenant à certaines valeurs de la variable, considérons les valeurs voisines. L'indétermination cesse généralement ; nous extrapolons le résultat jusqu'à la valeur précise de la variable où l'indétermination est réelle.

C'est exactement ainsi que nous procédons pour obtenir la dérivée.

Ces considérations deviendront plus claires par la suite, après que nous aurons traité quelques exemples.