Planimètre d'Amsler

Ce merveilleux appareil, de construction simple et de grande précision, a une théorie assez délicate, mais qui vaut la peine d'être approfondie (fig. 135).

Il est destiné à donner l'aire limitée par une courbe fermée S. Il se compose de deux tiges OA, AB, articulées en A; OA porte en 0

Fig. 135.

une pointe effilée qu'on plante dans le papier; AB porte en B une pointe mousse avec laquelle on suit le contour S.

Le prolongement de AB sert d'axe à une roulette R qui appuie sur le papier et tourne quand B se déplace. 11 s'agit de montrer que la rotation de la roulette est proportionnelle à l'aire S quand B fait un tour complet. Elle est mesurée à l'aide d'une graduation tracée sur la jante de la roulette ; un totalisateur donne le nombre de tours.

i\ — Tout point du plan accessible à la pointe B est repéré par les deux coordonnées 6 et 6. L'angle 0 est mesuré à partir d'une droite fixe OX quel- • nx \u

conque supposée tracée sur le papier; ^ est l'angle des tigesOA, AB.

Soit ^ invariable et 6 variable. Pour chaque valeur de ^, B décrit

Fig. 136.

206 CO uns DE MA THÉ M A TIQ UES GÉNÉRA LES

une circonférence g de centre 0; l'ensemble de ces courbes constitue le premier faisceau de lignes de repère.

Soit 4> variable et 0 constant. Pour chaque valeur de Q, B décrit une circonférence t de rayon constant et de centre A, A', ...; leur ensemble constitue le second faisceau de lignes de repère. La figure 136 montre deux lignes 7,, ^2, du premier faisceau, deux lignes T,, T2, du second.

^\ — Posons : (JÂr=a, AB = b, Al\ = c, PH=/);

P est le pied de la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB ; le point R est celui où le plan de symétrie de la roulette coupe l'axe autour duquel elle tourne. On a :

m^ = a'-{p + cf + [b+{p + c)]\

Pour une autre valeur >lii de l'angle 6, on a :

OB; ^ a^ (;>. + c)^ + [b + (/>, + c)]\

Retranchons : UBJ — (JB' = 2/;(/), — /)).

S". — L'angle 6 restant invariable, augmentons 0 de dO. Le point R décrit un arc de circonférence RR, de centre 0, de rayon 7, de longueur RÏii = q(I() .

La composante RI de ce déplacement normale à AB est :

m = qdHcosUÏ{P = qd(i{p : q)=pd^.

Elle est seule utile pour faire tourner la roulette; la composante parallèle à AB ne produit qu'un glissement latéral do la jante sur le papier. Telle est l'hypothèse fondamentale sur laquelle repose toute la théorie. Soit r le rayon de la roulette; l'angle dont elle tourne est :

Qi=pdii : r.

4'\ — Considérons (fig. 136) le parallélogramme curviligne infiniment petit formé par les quatre courbes 7,, Cj? '^1» '^2- Evaluons son aire :

(/S = aire BB.GiG = secteur Oyv^ — secteur OGG, = (D^f — OQd^ \ 2. D'après le t : dS = (p,—p)bdf}.

Evaluons la rotation de la roulette, quand la pointe mousse décrit le pourtour du parallélogramme.

Pendant les parcours égaux et de sens inverses BjCj et GB, la roulette tourne de deux angles égaux et de sens contraires.

Restent les parcours BB, et GjG pour lesquels les relations sont :

D'où: dS = br{oL^ — a).

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 207

L'aire du parallélogramme est proportionnelle à la rotation totale de la roulette.

5°. — Pour parfaire la démonstration, il suffit de remarquer que l'aire à mesurer peut être décomposée, au moyen des faisceaux a et t en une série de petits parallélogrammes à chacun desquels la théorie précédente est applicable. On ne laisse en dehors de cette décomposition que des triangles dont la somme est un infiniment petit. Il est inutile bien évidemment de parcourir les lignes de division, puisqu'elles le seraient chacune deux fois en sens contraires, ce qui amènerait pour la roulette deux rotations égales et de sens contraires : leur somme disparaîtrait dans la rotation totale. 11 suffît donc de parcourir la courbe limite.

Remarque I. — Pour étalonner l'appareil, on mesure une aire de forme simple, un carré par exemple, dont on calcule directement la surface.

Remarque II. — Opérons sur des cercles de centre 0 [à invariable, ^°). La rotation de la roulette pour un tour complet est 2'Kp : r. Il existe donc un cercle F pour lequel la rotation est nulle. Son rayon est donné par la condition :

Pour les cercles de rayons plus grands, la rotation de la roulette est dans un sens; elle est du sens contraire pour les cercles de rayons plus petits.

Remarque III. — 11 résulte de là que si le point fixe 0 est à l'intérieur de la surface à mesurer (ce qui n'arrive que si la surface est très grande), on doit ajouter à l'aire obtenue l'aire du cercle F.