Planimètre linéaire
i°. — Le planimètre linéaire se compose d'un chariot monté sur deux galets G qui sont guidés par une rainure rectiligne XX creusée dans une barre lourde et épaisse. Le point A décrit une droite Ox parallèle à la rainure; sa position est repérée par la distance a:7 = 0A.
Le bras AB qui porte la roulette tourne autour du point A. Sa direction est repérée par l'angle ^ qu'il fait avec Ox. En B est fixée la pointe mousse avec laquelle on suit le pourtour de la surface dont on veut déterminer l'aire. L'appareil est équilibré par rapport aux galets au moyen d'un contrepoids non représenté. On a :
y^bsin<l/. (1)
Quand le point A se déplace, l'angle ^ restant invariable, le point B décrit une droite dont la position dépend de ^ d'après la relation (1). L'ensemble de ces droites constitue le faisceau a.
Quand le point A reste fixe, B décrit un cercle de centre A. L'ensemble de ces cercles égaux constitue le faisceau t.
^". — L'aire du parallélogramme BCGiB, est :
dS=:BG . ce;. sinGG,B, = /> . d'I . dx . cos^.
Forçons la pointe mousse à suivre son pourtour. Pour les côtés BG, G^Bi, les rotations de la roulette sont évidemment égales et de sens contraires. Dans le parcours BB, pour
Fig. Ul.
lequel 6 est constant, la rotation de la roulette est proportionnelle à la composante B^D du déplacement normale à la tige AB. On a :
B,L)=:J.r . sin-y
Soit a la rotation de la roulette :
sin '!/
a = ^ dx.
Pour le parcours GG,, la rotation (de sens contraire) est donnée par la même formule dans laquelle on remplace Ç/ par '{/-[-(/'^. On a donc pour la ditrérence des rotations, par suite pour la rotation totale dans le parcours complet BGG,B,B (au signe près) :
cos >l
dy. = dx . d^ ; d ou :
dy.
Reprenant le raisonnement ,)'' du paragraphe précédent, on conclut:
S = Jbrx.
a est la rotation totale de la roulette quand la pointe mousse décrit le pourtour de Taire à mesurer.
3'\ — Gomme on le voit, la théorie du planimètre linéaire est plus simple que celle du planimètre polaire ; l'appareil , malheureusement plus cher, est plus précis. Mais sou grand avantage est de permettre , grâce à une légère complication mécanique , de mesurer
FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES
les moments statiques, les moments d'inertie, d'une manière générale toutes les intégrales de la forme :
if
dx.
169. Mesure mécanique des moments statiques et des moments d'inertie.
Nous engageons le lecteur à passer ce paragraphe; il y reviendra avec plus de profit lorsqu'il connaîtra la définition des intégrales doubles (j5§ 306 et suivants).
i°. — En définitive, il résulte du paragraphe précédent que la rotation de la roulette, pendant que la pointe mousse décrit dans le même sens tous les petits parallélogrammes curvilignes, est :
/Ji=^...,=-,LjJ...,,
en vertu de la relation :
y =z b sin 'h ,
dy =zh cos ^ . d'b.
On a le même résultat en ne décrivant que le pourtour extérieur, car les chemins intérieurs sont parcourus deux fois en sens inverses.
j^°. — Supposons maintenant que la roulette R soit montée sur une tige qui tourne autour du point A et fait avec Ox un angle y lié mécaniquement à l'angle 'b (fig. 138).
Le raisonnement ^° du paragraphe précédent nous apprend que la rotation de la roulette pour le parcours BGG,B,B est :
doL = dx dy .
Il faut en effet projeter
le déplacement élémentaire
BBi non plus sur AB, mais sur le prolongement de AR.
Quand la pointe décrit le pourtour extérieur de l'aire , la rotation totale de la roulette est :
Fig. 138.
— // dx . C0& y dy=:. -y j 1 dxd{smy)=— I
Cours de Mathématiques générales. — H. Douasse.
sin y . dx.
S". — Au moyen d'engrenages faciles à imaginer, établissons entre y et >l) l'une des relations :
La première relation nous ramène au paragraphe précédent : la rotation aj de la roulette mesure Taire S. La seconde donne :
sin y =^ sin ( 2'| -|- Y j = cos 2'} = 1 — 2 sin"»} ;
La première intégrale est nulle pour un parcours fermé (§ lo4); il reste donc (au signe près) :
4M = //raa.
La troisième relation donne (§ 226) :
sin y = sin 3'J/ = 3 sin 6 — 4 sin^ 6 ;
^^=-17^ J y^''-4rj .'^'^^-^
D'où : S = />/'a, , M = —r- a. , I - —r.y {'^^i — «s) •
4^". — On démontre aisément que les résultats sont les mêmes quand l'axe AR ne passe pas par le point A , mais coupe l'axe Ox à une distance de A fonction seulement de 'b et ne dépendant pas de x. Peu importent en etfet les rotations (juaiul .r est constant et '} variable, puisqu'elles sont toujours égales et de signes contraires pour chacun des parallélogrammes élémentaires, et se détruisent dans la somme. Quand .r varie, seule l'inclinaison de l'axe de la roulette intervient sur sa rotation; sa position par rapport au point A est inditlerente , pourvu qu'elle ne soit pas modifiée par une variation de x.
Nous n'insisterons pas sur les dispositifs mécaniques, parce que, très simples à comprendre l'appareil en main, ils le sont beaucoup moins sur des figures.
