Définition des fonctions G et F

Nous allons étudier un premier exemple de fonctions définies par

Fig. 141.

les aires limitées au moyen de courbes relativement simples; leur importance est capitale en Physique.

Les fonctions dites de Fresnel sont définies par les intégrales :

Gr= / cos-y-c/?;, ^— I ^lu -^-aî^'. Construisons d'abord les courbes (fig. 141) :

y = cos -^

sin

Le tracé point par point ne présente aucune difficulté, puisque nous possédons des tables des sinus et des cosinus. Nous pouvons immédiatement déterminer les points remarquables, maximums, minimums et zéros. Ils correspondent aux valeurs de v pour lesquelles r- est égal à 1, 2, 3, 4, ...; d'où :

Les deux courbes se coupent quand on a :

cos —^ =r sm 2 j tg ■ 2^ = 1 • La valeur de v- est donc égale à 2A-|-0,d :

^*'. — Ce premier travail effectué, nous avons une idée nette de l'allure des fonctions G et F (fig. 142).

Les courbes // (fig. 141) forment des boucles dont les aires,

Fig. 142.

alternativement positives et négatives, vont en décroissant. Donc, quand la limite supérieure d'intégration varie de O à oc, les intégrales F^', G* (fig. 142) sont toujours positives, alternativement croissantes et décroissantes.

Leurs maximums et minimums correspondent aux points d'intersection des courbes ;/ avec 0.r (§ 153).

Les maximums et minimums de G^ sont donnés par la condition :

dv — "'

COS— s- = 0.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEUHS DÉBIVÉES 215

Les maximums et minimums de F'^ sont donnés par la condition :

-y7 = 0, sin-^ = 0, v = \2k ,

Pour v = 0, les deux courbes F et G partent de l'origine, mais non de la même manière. L'ordonnée y = cos [r.v- [ 2) conserve une valeur voisine de 1 pour des valeurs notables de v. Son aire, mesurée entre l'ordonnée à l'origine et une ordonnée variable, est donc très sensiblement proportionnelle à v. Donc la courbe G est presque rectiligne au départ de l'origine.

La courbe F est au contraire tangente à Taxe des abscisses.

A mesure que v croît, les aires alternativement positives et négatives des courbes y deviennent de plus en plus petites. Les intégrales G et F oscillent toutes deux autour d'une droite D dont elles se rapprochent indéfiniment. L'ordonnée de cette droite est 0,o (§ 309).

S"^' — Présentons ici une remarque capitale.

Bien que les courbes G et F se rapprochent indéfiniment de la droite D , celle-ci n'est pas une asymptote ; les courbes G et F ne lui deviennent jamais identiquement parallèles. Pour des valeurs très grandes de t\ elles font de part et d'autre de D des oscillations dont les amplitudes sont très petites, mais dont les zéros sont eux-mêmes extrêmement rapprochés; les pentes des tangentes aux deux courbes, pentes mesurées par les quotients :

dG r,v^- dV . r.v^

cos— Ti— , — ; — = sin

dv — """ 2 ' dv — ^"^ 2 '

n'en continuent pas moins à osciller entre les limites ■±: l.

De sorte que nous avons deux courbes qui se confondent aussi exactement que nous le voulons avec une droite, et qui cependant n'admettent pas cette droite pour tangente. A quelqu'un qui ne serait pas prévenu et observerait les courbes pour des abscisses grandes , elles donneraient l'image de fonctions continues n'admettant pas de dérivée.

A la vérité elles en admettent, mais dont les variations sont extrêmement rapides.