Calcul des fonctions G et F

La méthode de Simpson (§ 166) revient à substituer à la courbe des arcs de parabole. Elle rentre dans la méthode plus générale qui consiste à remplacer un arc de la courbe à intégrer par un arc d une autre courbe pour laquelle l'intégration s'effectue au moyen de fonctions dont on possède des tables. Dans le cas présent, il est tout indiqué d'essayer des arcs de sinusoïdes, que nous superposerons le et le plus simplement possible aux arcs des courbes de la

mieux fig. 141

Soit à calculer : / cos-^-dv.

21 6 CO uns DE MA THÉMA TIQ UES GÉNÉRA LES

OÙ H est une quantité constante quelconque , 2a une quantité suffisamment petite.

/". — Posons : v=^a-\-u.

Quand v varie de a à a-|-2jc, u varie de 0 à 2a. Donc : cos^V-c?t^= / cos ^ (a -\- iiy du

COS y{3-4"^^") ^"'

puisque /)ar hypothèse or, par suite u- qui lui est toujours inférieur, sont des quantités assez petites pour être négligeables devant a-. L'intégration est maintenant possible avec des sinus :

/*'" - fi'/ T'

/ cos-^[a"--{-2au)du=^\^s\n2\^'^-\-^^^)\ ,

cos "2 ^^^' = ^a ^^^ T (^'" + ^^^^ "" ^^" ^ '

On trouverait de même :

pa + 2a^ /" 'sin-f ^t^rzr- J^ | COS |- (a' + 4aa) — COS ^J .

Si donc on connaît les valeurs G^ et F", on peut calculer les valeurs voisines :

^". — La méthode précédente de calcul a l'inconvénient que la valeur do l'élément d'intégrale n'est exacte qu'à l'une des extrémités de l'intervalle, pour î;=:a, ou, ce qui revient au même, pour u = 0.

On obtient une meilleure approximation en posant :

La variable u varie maintenant entre — 7. et -|- a. Un calcul identique au précédent donne :

g: -^ " = ^ ,) [sin I- [(a + .)^ + 2 (a + a).]] ^ ; .

= -Z(^[J^ [si^ i (a + ^) (a + •^^) — sin |- (a + 3c) (a — x)J On trouve de même :

Fr'^ = -~^^j[cos^(a+,)(a + 3.)-cos-|-(a + ..)(a-:<)]-

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES

Nous insistons sur ce calcul parce qu'on procède toujours d'une manière analogue pour calculer approximativement une intégrale au moyen de fonctions dont on possède des tables.