Loi des aires

L'expression de Taire en coordonnées polaires tire son importance du fait suivant : lorsqu'un point A est attiré par un centre fixe 0 suivant une loi quelconque, il décrit une courbe plane dont le plan contient le point O, ce qui est évident par raison de symétrie. Le rayon vecteur OA, qui joint le point au centre d'attraction, balaye des aires proportionnelles aux temps mis à les balayer, ce qui résulte des principes de la Dynamique.

Cette loi des aires se traduit par l'équation :

r^-dO = 2Cdt, (1)

où dt est la dilîérontielle du temps, C une constante.

Le problème mécanique consiste à déterminer la trajectoire, non pas sous la forme /'(r,0) = 0, d'une fonction des coordonnées (ce qui spécifierait uniquement sa nature géométrique), mais sous la forme :

OU sous la forme équivalente :

où t est le temps. L'équation (1) n'est pas suflisante pour résoudre le problème; on doit lui adjoindre une autre condition qui exprime la loi particulière d'attraction. En d'autres termes, il s'agit de déterminer à la fois la trajectoire et la loi suivant laquelle elle est parcourue.

FONCTIONS DÉFINIES PAB LEURS DÉRIVÉES 219

Notre but actuel est tout géométrique. Nous nous donnerons donc le centre d'attraction et la trajectoire; nous chercherons comment cette trajectoire doit être parcourue pour que la loi des aires soit satisfaite.

176. La trajectoire est une ellipse; l'origine des coordonnées (centre d'attraction) est au centre de symétrie de Tellipse.

Prenons l'ellipse sous la forme :

x = a cos u , y = bsinu\

u est une certaine fonction du temps qu'il s'agit de déterminer. On a : dx^= — asinudu, dy = b cos u du;

xdy — ydx = ah (cos- u -f- sin^ u) du:=^ab . du.

Si les aires balayées sont proportionnelles aux temps employés, on doit écrire :

abdu = Cdt, abu = Ct^

en posant u = 0, pour ^ = 0. La période T est donnée par la condition que pendant le temps T le mobile accomplisse un tour entier; autrement dit, que la variation 2- pour u corresponde à la variation T pour i. D'où la condition :