ab = CT, C=:2'ab:T, u = 27:t:T
L'angle auxiliaire u doit donc varier proportionnellement au temps; le facteur de proportionnalité est 2t. : T, où T est la période.
C'est précisément ce que nous avons admis aux §§ 114 et suivants; en effet, l'hypothèse fondamentale en Optique et en Electricité est que tout se passe comme si les points mobiles étaient attirés par des centres fixes proportionnellement à l'écart avec la position d'équilibre (élongation).
177. La trajectoire est une conique; l'origine des coordonnées (centre d'attraction) est l'un des foyers.
1" — Prenons la conique sous la forme (§109) :
a(l— g^) i -{~e cos 6 ' Pour l'ellipse, on a e<l; pour l'hyperbole, e>l. Enfin pour la parabole, e=[; comme a(i — e^) doit rester fini, nous le poserons égal à p.
La loi des aires s'exprime donc dans tous les cas par la condition :
(T+S3reF = ^'^'' (*)
OÙ A est une constante. Cette équation définit la loi suivant laquelle tourne le rayon vecteur. Nous pousserons les calculs à bout pour l'ellipse et la parabole.
22u cours de mathematiques générales
!2°. — Pakabole.
On vérifiera que la relation (2) redonne (1) par différentiation :
1)' ^=^['^i^h^'il (2)
en se rappelant que : 1 -|- ces 0 = 2 cos- -^ •
Pour ^ = 0 , on a 0 = 0; on suppose donc que le mobile passe au sommet de la parabole à l'origine des temps. Dans l'hypothèse contraire, il faut remplacer t par t — Ûq; /<, représente l'époque du passage au sommet de la parabole.
,3°. — Ellipse.
Les calculs sont un peu plus longs. On ne trouve de résultat simple qu'en utilisant l'angle u comme auxiliaire. 11 faut donc commencer par relier u et 6.
On a dans la ligure 82 :
Oy = OF4"T^' acos ti ==rcos6 -)-c.
On a (^ 109) : r = a{\ —ecosu).
,., , cos ti — e , cos f/ — e
D ou : cosO=:-j , 0 = arc cos -7- .
1 — e cos u ' 1 — e cos u
Ceci posé, des calculs sans dilliculté permettent d'exprimer (l) en fonction de u.
On calculera d'abord 1 -|-ecosO, ce qui est immédiat. On calculera (/O en dilFérentiant l'arc cosinus (5:} 56). On trouvera aisément :
u e S\l\ u =:: iùt . (3)
Ainsi u n'est plus proportionnel au temps; il varie d'une manière plus compliquée.
La formule (3) est fondamentale en Astronomie. Les planètes se déplacent sur leur trajectoire de manière que le rayon vecteur qui les joint au foyer , balaye des aires proportionnelles aux temps.
Gomme les ellipses décrites sont très voisines du cercle, l'excentri-
cité : e = c \ a:=^ \la- — A* ; a ,
est très petite; peu s'en faut que u ne varie proportionnellement aux temps.
La formule (2) sert à calculer le déplacement des comètes sur leurs trajectoires.
FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRÎVÉES
Équations naturelles et intrinsèques des courbes planes.
