Équations naturelles des courbes planes

/°. — Les courbes sont données par leurs équations naturelles quand les coordonnées des points sont exprimées, en fonction d'une variable auxiliaire u, par les intégrales :

p cos u du,

y—yo

/ p sin u

du. (1

p est une fonction de u. Pour u==Uq, on a le point A (fig. 143) de coordonnées x = Xq, y=yQ.

Voici la raison du nom de ces équations. Différentions-les ; on a (§ 153) :

dx = p cos u du, dy = p sin u du ;

flq^i .

~^ = i^u, ds = yjdx^ + dy^ = p du.

Il résulte de là que u est l'angle de la tangente à la courbe avec l'axe Ox ; p est son rayon de courbure ; ds son élément d'arc.

Par suite, les coordonnées x, y, d'un point sont exprimées en fopction des propriétés fondamentales de la courbe au voisinage de ce point.

i^**. — En efPet, prenons l'arc s comme variable indépendante et donnons-nous la fonction :

La courbe peut être cons- Pig 443

truite de proche en proche.

Parvenus en un point B, connaissant par conséquent la valeur de s et la direction actuelle de la courbe, nous calculerons le rayon de courbure et déterminerons le centre de courbure. Nous tracerons un élément d'arc ds avec ce point comme centre. Nous commencerons les opérations pour la valeur s-]^ds de la variable,... et ainsi de suite.

La courbe est donc construite indépendamment de tout système particulier d'axes de coordonnées, grâce à la connaissance seule de ses propriétés intrinsèques. Mais une fois construite, nous sommes évidemment libres de la rapporter à deux axes rectangulaires, dont la position et l'orientation sont arbitraires dans le plan.

LOUItS DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES

C'est alors qu'intervient la variable auxiliaire u, définie par l'équation :

cls

1 i ds / ds

La fonction u = ¥{s), une fois connue, les relations (1) donnent

les valeurs des coordonnées X et y en fonction de u et par conséquent de s.

La constante arbitraire ii^ correspond à l'orientation arbitraire des axes ; les constantes .To et î/o correspondent à la position arbitraire de l'origine des coordonnées.

;j». — Le cas le plus simple est celui où p est constant.

L'intégration est immédiate :

X — -^0==^ p(sm u

sm Wo)»

î/ — Yo z= — c(cos u — cos Uo).

Nous pouvons écrire :

{x — Xo -|- p sin Uo)- + {y — .Vo — p cos UoY ~ p*, qui est bien l'équation d'un cercle.

On vérifie aisément les équations (1) sur la figure 144.

Soit A le point de coordonnées Xq^ i/q^

soit B le point de

coordonnées x, ij^ u. On a :

X — Xo= LG = KG — KE = p sin ti — p sin Uo,

y — y^ z= Tu = TL — DL = p cos Uo — f ^^^ "•