Dérivées de différents ordres
i°. — Il n'y a aucune idée nouvelle dans la définition des dérivées d'ordre supérieur.
Soit y = f(^x), une fonction de x. Dès qu'elle est définie, quel que soit du reste le procédé employé , nous sommes censés pouvoir ealculer la dérivée p = dy ', dx. Autrement dit, la courbe représentative de yz=zf{x) étant tracée, nous sommes censés pouvoir calculer sa pente : c'est une nouvelle fonction jD=r(p(x).
Rien n'empêche de la traiter comme précédemment la fonction f[x). En particulier, nous pouvons calculer sa pente :
dp ^ d / dy dx dx \ dx
d /dv\ d-y
Nous écrirons : i \ , i — ■ i «
dx \dx J dx^
par définition, c'est la dérivée seconde de y par rapport à x.
De même cette dérivée seconde est une certaine fonction de x dont nous pouvons calculer la dérivée. Nous poserons :
et ainsi de suite.
V d (dy\\ d Vd'-y^ \dx \dxj\~ dx \dx^ ]
-L ±.1^ \— ^ [d'-yl^d'y dx \ dx\dx\~dx\ dx^ dx" '
Dans le cas où la variable x représente le temps, où la fonction y représente l'espace parcouru, dy ; dx est la vitesse, d^y ; dx^ est raccélération.
^2". — Il est essentiel de se rendre compte de la nature des quantités d'^y et r/./;'".
Pour cela considérons la série des quantités :
y, Vx, ?/2, 2/;m ••• Posons: Ay=:zy,—y, Ay,=y., — y,, ly, = y^ — y.,, ... Ce sont les différences premières.
Les différences secondes sont par définition :
^7/ =^7/, — Aï/ =y^ — 2y,+y, ^h^, = ^y, — \y,z=y, — 2y,-\-y,, et ainsi de suite.
Supposons que les quantités y^ ?/,, ... soient les valeurs d'une fonction pour les valeurs .r, x -\- \x , x-\-2\x, x-\-'^\x^ .,. d'une variable. Les rapports des différences premières aux accroissements sont :
Opérant sur ces rapports comme précédemment sur les quantités y y 1/,, ... nous obtenons :
A.r^ Ax* ' Ax* Aj-* ' ■
Il suffit que les Ar tendent vers 0, pour retrouver les dérivées des différents ordres.
Ce calcul a l'avantage de montrer la nature des quantités qui entrent dans les dérivées. Le dénominateur dx'" est véritablement une puissance. Si nous voulons vérifier l'homogénéité des formules et si dx représente une ligne, dx'^ représentera Taire d'une surface, dx^ le volume d'un solide, ... Au contraire, si dy représente une ligne, (/-//, ..., (/'"// représenteront également une ligne. Par exemple, nous trouverons pour l'expression du rayon de courbure (,^ 91) :
f=^r-t-Vdx; I --^
dy ; dx est un nombre; le numérateur de l'expression est donc homogène ; d-y \ dx- est l'inverse d'une ligne ; son inverse est par conséquent une ligne. Ce qui justifie la formule du point de vue de l'homogénéité.
18. Distinction entre les maximums et les minimums; points d'inflexions.
Au § 8, nous avons vu que les maximums et les minimums correspondent aux valeurs de la variable qui annulent la dérivée pre-
mière. Il s'agit de distinguer les minimums des maximums. Reportons-nous à la figure 1.
Sur l'arc iVB, avant d'arriver au minimum B, la pente de la courbe, qui est négative , décroît en valeur absolue; algébriquement la pente croîty puisqu'on regarde une quantité négative comme inférieure à zéro. Au delà du point B, la pente qui est positive^ croît. Donc le minimum est caractérisé par une pente nulle et croissante •
d dy dx dx
dy
dx
dx'^ -^^'
Sur l'arc CD, la pente qui est positive, décroît; au delà du point D, la pente qui est négative, croît en valeur absolue; algébriquement elle décroît. Donc le maximum est caractérisé par une pente nulle et décroissante :
d dy dhf
dx — ^'
dx dx
dx'
Il va de soi qu'entre un maximum et un minimum, la dérivée seconde doit s'annuler : cela indique que la pente elle-même passe par un maximum (comme au voisinage du point C) ou un minimum. Pour trancher la question autrement que par une figure , il faudrait considérer la dérivée troisième. Et ainsi de suite (voir § 93).
Quand la dérivée seconde est nulle, c'est-à-dire la pente maxima ou minima, on dit que le point est d'inflexion.
