Radioïde aux arcs; spirale de Cornu

Le système de coordonnées que nous étudions, s'impose quand on définit la courbe par une relation entre le rayon de courbure p et l'arc s.

/". — Par exemple, nous voulons une courbe dont la courbure 1 ; p en un point soit proportionnelle à la distance s de ce point à un point 0 pris pour origine des arcs, distance comptée sur la courbe. Je dis qu'on a :

cos ^ v^

. dv, y

En effet, mettons sous la forme normale. 11 faut poser :

izv

cosu du

TZV

sinu du.

Donc le rayon de courbure et l'arc ont pour expressions : ; ds=:i ^ du = adv, s = av.

D'où enfin

ce qui est la condition exigée.

La courbe cherchée est donc définie par les intégrales de Fresnel

(§ ni) :

x = aGl y = ^K ^°. — Nous la construirons aisément point par point au moyen de la table du §173. C'est une spirale représentée dans la figure 145 ; elle est employée dans l'étude de la diffraction et dans celle des raccordements. Son rayon de courbure est infini à l'origine ; il diminue progressivement et tend vers 0 en s'approchant des points asymptoliques

Fig. 145.

J et J', dont les coordonnées sont (§ 309) :

ic=:î/ = ±0,5a.

Il est facile de montrer qu'une spire se confond d'autant plus approximativement avec un cercle que s ou y sont plus grands. On a en effet :

(/p ds

Or, à mesure que s croît, une spire correspond à une valeur de As

de plus en plus petite ; le rayon de courbure le long d'une spire reste constant de plus en plus rigoureusement. Par suite, la spire se confond de mieux en mieux avec un cercle.

La figure suppose a r= 1 .

On a inscrit sur la courbe la valeur de s, ou de v qui lui est égale.

Considérons un arc Pj P.^ de la spirale dont les points

Fig. 14C. . . ^ 1 » . j

extrêmes correspondent a des valeurs i;, et v., de la variable v (fig. 146).

On a par définition :

OÂ = g;*, oii = g;% âb = g:;.

De même : ÔC = F:* , ÔÔ = F;% CD = F;.;,

D'où : ^rd^X=(F;;:)'+(G^;)^

Rectification ti«»s courix's planes, intégrales elliptiiiues.