Curvimètre
Avant d'aller plus loin, disons comment on mesure expérimentalement la longueur d'une courbe, opération nécessaire non seulement dans la pratique, mais encore pour l'étudiant comme vérification de ses calculs.
Le curvimètre est constitué par une roulette finement dentée R [mollette)^ dont le rayon est choisi de manière que la circonférence vaille 50 millimètres. Le pourtour est divisé en 50 parties (fig. 147)
AK
La mesure de la longueur d'un arc de courbe
TT
consiste à faire rouler dessus la roulette et à déterminer le nombre de tours et la fraction de tour qui résultent de l'opération. L'axe de la roulette est une vis le long de laquelle elle s'avance, pour chaque tour, de la longueur du pas. Le nombre entier de tours est donné par une graduation G dont l'équidistance est égale au pas de la vis. La pj^ ^^^
fraction est fournie par la différence des numéros des divisions de la roulette qui se trouvent en regard de la graduation à la fin et au commencement de l'opération. Avec un peu d'habitude, on obtient le résultat à une fraction de millimètre près.
183. Arc d'ellipse ; intégrale elliptique de seconde espèce £^(9).
j". — Soit à évaluer l'arc d'ellipse BD , compté à partir du point B dans le sens de la flèche (fig. 148). Prenons pour variable auxiliaire l'angle o complément de l'anomalie excentrique définie au § 107.
On a :
r = a sin o ,
= bcos
ad(^\/
sin^
ds = doya.'^ cos'^ cp -^ b''^ sm'-' o =
Posons (a- — j6-) : a^ = k- ; k est l'excentricité que nous désignons par la lettre c au § 107. On a donc :
s = a I Y 1 — k^ sin^ cp d(^.
^0^ — L^ fonction que nous rencontrons ici, s'appelle intégrale elliptique de seconde espèce. On pose :
'cp.
P'V'l — ^' sm'' 9. da^ = E,.(9).
Cours de Mathématiques générales. — H. Bouasse.
COURS DE MATHÉMATIQUES GÉ.\ÉnALES
Fig. 1W.
9 s'appelle l'amplitude; k est le module toujours supposé <1. La fonction E qui, pour une valeur donnée du module, est une fonction de Tamplitude, ne s'exprime pas au moyen des fonctions usuelles les
plus simples. C'est une nouvelle fonction, d'importance capitale dans toutes les parties de la Physique et de la Mécanique.
Quand l'amplitude vaut t: : 2, rinté^ale est complète ; on la désigne par E^., ou E q\iand il n'y a pas d'ambiguïté sur le module; aE^ représente donc le quart de la circonférence elliptique pour une excentricité k.
Pour /»=0, l'ellipse devient un cercle ; on a évidemment : E= 1,5708, le quart de la circonférence du cercle de rayon a valant Tza : 2.
Pour A;=1, l'ellipse évanouissante se réduit k son grand axe; le quart de la circonférence de l'ellipse est donc égal à a ; on a :
On écrit souvent :
k^ = s'\n-j, Eâ(o)=/ ^i — sin* a sin* (p t/<p.
On trouvera plus loin les tables de la fonction E.
3'^. — La représentation géométrique de E conduit immédiatement aux relations suivantes, dans lesquelles nous omettons d'écrire le module qui reste le même (comparer au 5:$ 160, 3" :
Par exemple , les deux premières de ces relations expriment les égalités évidentes :
BDAE r= BDAEB' — EB' = 2 BDA — BD
BDAB'G
^t ainsi des autres.
BDAEB' + B'G = 2 BDA + BD ;
FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES
