Arc d'hyperbole ; intégrale elUptique de première
Pour calculer un arc de l'hyperbole, repérons ses points à l'aide d une variable auxiliaire (p.
Décrivons le cercle de rayon Ô A = a ; d un point G défini par l'angle (p, menons une tangente à ce cercle ; elle coupe Ox en un point B qui définit l'abscisse du point P.
On a
sin o Posons :
Pour éviter des difficultés qui apparaîtront tout à
Fig. 149.
l'heure, comptons l'arc de courbe à partir du point A dans le sens de la flèche ; s est nul pour o=j, et croît quand 9 décroît. Ceci posé, on trouve aisément :
c?çp
sm-'
sm''©
Intégrons par parties
\/ 1 — k'^ sin^ o
do
sin'^o
-cotg(p\/l
k- sin^o
^ / cos^ o d^ ^ J V i — ^sin^ 0 '
cos^o
yi — A;2 sin^
= irs/î-
k" sin^ o —
o "- "^ Y^l — A^ sin^ o
Sans qu'il soit nécessaire de pousser le calcul plus k bout, nous constatons que Tare de courbe s'exprime d'abord au moyen d'un terme qui ne contient que des fonctions circulaires, ensuite au moyen de l'intégrale elliptique de seconde espèce, enfin au moyen d'une nouvelle fonction que nous appellerons intégrale elliptique de première
espèce
Fa.(?)
Jo VI-
do
¥ sin^ (p Gomme précédemment, 9 est Vamplitude, k est le module.
185. Intégrales qui se ramènent aux intégrales elliptiques de première et de seconde espèces.
II n'entre pas dans le plan de cet ouvrage de rechercher systématiquement quelles sont les intégrales dont le calcul se ramène aux intégrales elliptiques. Nous donnerons seulement les plus simples, celles qu'on rencontre dans les applications.
yo r A^ ^ r ^2 .
y, \/(i—x^)(i— kV) y, V 1 — /f* sin^ 9 '
on posera : .r-.
r=sm cp.
on posera : .n
^tgo,
vV(l-
on posera : x-
= sin- 0
J. ^/i /c2 sin* 9 '
- j x^dx y '' cos*9(/9
on posera : A-=r=1 ; 2, .r = coso.
Nous avons vu plus haut comment on ramène cette dernière intégrale aux formes canoniques.
tf. — Pour simplifier les intégrales :
J Y^l— 2/ccos.; + /t* J
cos '^ d<}^
y/l— 2A-COS6 + A»
on posera : sin (o + -i^) ^= /rsin o.
