Intégrales elliptiques considérées comme des aires

/". — Construisons les courbes (fig. 150):

y = y 1 — A- sin- 9 , c = 1 ; y/l — k^ sin* 9 ,

pour dos valeurs diverses de A-. A toute courbe ?/, correspond une courbe 3 obtenue en prenant pour ordonnées les inverses des ordonnées de la première. En effet, pour le même module et la même valeur de 9, on a : yz = \.

Pour /cr=0, les deux courbes se réduisent à 1 horizontale d'ordonnée \.

FONCTIONS DÉFINIES PAR LEURS DÉRIVÉES 229

Pour l'autre limite k = i, la courbe y est une cosinusoïde ; comme le radical doit toujours être pris positivement, Tare de cosinusoïde entre TT : 2 et TT est remplacé par son symétrique par rapport à l'axe des abscisses. La courbe z possède une asymptote verticale pour (p = 7u : 2, puisqu'on a alors y = 0.

Outre les précédentes, la figure 150 représente les courbes y et z pour k^ = 0,in et A:2 = 0,36.

^''- — Les intégrales elliptiques de première et de seconde espèces

Fig. 150.

sont les aires limitées au moyen des courbes que nous venons de construire, au moyen des axes de coordonnées, enfin d'une ordonnée déterminée par la limite supérieure (amplitude).

Pour les intégrales complètes, cette seconde ordonnée correspond à t: ; 2. Si /i = 0, les intégrales complètes valent l'une et l'autre le rectangle qui a l'unité pour hauteur, t: ! 2 pour base. D'où :

Eo = Fo = -:2.

L'intégration est possible avec les fonctions usuelles pour k=\ ; on a :

coso.(/9=-sinç), , ^^g^

Nous aurons l'occasion de revenir sur la fonction Fi (§ 213),