Définition du logarithme naturel
/". — Rapportons l'hyperbole équilatère (§ 117) :
à de nouveaux axes rectangulaires faisant avec les premiers un angle e=: — 45°. Pour obtenir la nouvelle équa- "^-^ tion, il faut remplacer
X par (^ + -0 ~2~ '
Yj par (—
D'où, en supprimant les accents :
xri = i.
C'est l'équation de l'hyperbole équilatère FGDD' rapportée à ses asymptotes qui sont rectangulaires (§ 117). Le point G a pour coordonnées :
FGDD = ffyperboJe é^u77a ^ére .' i^) = -1 GAMN = Zayar/t/imi^ue : u=/oçjc
Fig. 451.
5°. — On appelle logarithme naturel d'un nombre x représenté par la longueur ÎÎB, l'aire AGDBA (fig, 151) :
log^= / 'ndx= I -^,
L'aire est limitée par l'axe Ox^ l'hyperbole et les ordonnées d'abscisses 1 et iT.
Nous définissons ainsi une certaine fonction de x, y = \ogx, dite fonction logarithmique. A chaque ordonnée BDM d'abscisse X = OB supérieure à l'unité , correspondent une aire positive AGDBA et, par suite, un point M de la logarithmique situé au-dessus de 0.T-
On a : C r.dx r= 0 , log 1 = 0.
e'i". — Nous conservons la même définition pour les logarithmes des nombres inférieurs à l'unité :
log
Les ordonnées yj sont encore positives; mais dans le passage de 1 à X (qui est maintenant inférieur à 1), les variations dx deviennent négatives. Donc le logarithme du nombre représenté par x = OE<<l, est mesuré par l'aire EFGA, mais comptée néf/ativement.
De la symétrie de l'hyperbole par rapport à OC bissectrice des axes, on ])cut inmiédiatement tirer que, si le logarithme d'un nombre très grand est lui-même très grand (ce qui est le cas) ) , le logarithme d'un nombre très petit est négatif et très grand. Nous verrons en effet qu'on a :
logoc = -[-oc, logO = wT.
Les nombres négatifs n'ont pas de log-arithmes réels.
Nous admettrons qu'on a dressé une tabh» de logarithmes naturels par l'un des procédés ci-dessus exposés; par exemple, en traçant l'hyperbole, et en déterminant au planimètre d'Amsler les surfaces comprises entre des ordonnées successives (5:; 167), ou en décrivant mécani(juement la courbe intégrale (j:^ 170).
191. Logarithmes d'un produit, d'une puissance. Généralisation de la notion de puissance. /". — Soient les abscisses (fig. 151) :
ÔÂ=1, ÔA'^A; ÔB==.7, ÔW = kx.
Elles déterminent des aires ACDB et A CD B que je dis égales. En elTet, supposons -les divisées chacune en n parties par des ordonnées équidistantes. L'équidistance sera A* fois plus grande pour la seconde aire que pour la première , puisqu'on a :
ÂB = .r — 1, Â7B' = A.r — A = A-(.r — 1).
Mais les ordonnées ou hauteurs moyennes des trapèzes curvilignes ainsi obtenus sont respectivement A fois plus petites pour la seconde
aire que pour la première, en vertu de l'équation de la courbe :
et ainsi des ordonnées intermédiaires. Donc les aires sont égales.
On a : AGDB -f BDD'B' = ACG'A' + A'C'D'B' ;
donc : aire ACG'A' = aire BDD'B' .
Ceci posé, on a par définition :
aire ACBD = log x, aire ACD'B' =log kx, aire ACG'A' = log /c. Or : AGUB' == AGDB + BDD'B' = AGDB -f- ACG'A' . D'où la relation fondamentale où le nombre k est quelconque : log kx=:lo^x-\-\og k.
Le logarithme d'un produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
'2". — La propriété se généralise immédiatement pour un nombre quelconque de facteurs; on a, en effet :
log" [uv)w = log [UV) -\- log IV =z log u -\- \og V -|- log w,
puisque la multiplication est une opération associative et permutative. Corollaire I. — Soit à calculer le logarithme de a;", où n est positif et entier. On a :
logic" = log [x . X . X ,..) =1:^ log a: -|- log X -j- ... =n logo;.
Corollaire II. — Soit à calculer le logarithme de :
où p est positif et entier. On a par définition et en vertu du corollaire I :
z^ = X, log z^ = log X =p log c, log s = — log X.
Corollaire III. — Soit à calculer le logarithme de z = xJ . z^ = x^, yj log 2 = y log ip, log z = — logx.
Généralisation. — Ainsi la même règle s'applique, que l'exposant positif soit entier ou fractionnaire. Nous la généralisons pour un nombre incommensurable. Les logarithmes fournissent donc le moyen de calculer une puissance n positive quelconque d'un nombre. Nous prenons dans la table le logarithme de ce nombre , nous le multiplions par n ; nous cherchons enfin le nombre correspondant à ce nouveau logarithme.
236 eu uns DE MATHÉMATIQUES GÉNÉRALES
Cette règle s'applique à l'élévation aux puissances comme à l'extraction des racines.
192. Logarithme d'un quotient : généralisation. i". — Comparons les logarithmes des nombres inverses Ae = Xj OE=z\ ; X (fig. 151). Par définition, on a :
log X = aire \Cfe , log (1 '. x) = — aire EFCA.
Un raisonnement calqué sur celui du paragraphe précédent prouve que les aires en question sont égales; d'où :
\ogxz=z — log(l '. x).
!!^". — Mais on peut écrire
d'où : \ogx~^ = — logx.
De même : log „ = log (j?") ' = — logx" = — nlogx.
La règle du paragraphe précédent s'applique donc aux exposants négatifs quelconques.
:;?'•.— On a : log — -^ log u + log -- =logu — log v.
La table de logarithmes permet donc d'eifectuer les divisions. On cherche les logarithmes des nombres u et r, on en fait la dilTércnce; on cherche enfm le nombre qui a cette différence comme logarithme : c'est le quotient demandé.
