Fonction inverse du logarithme : exponentielle

/". — Nous venons de définir une fonction : ^i=log.r. Nous concevons qu'on en puisse calculer des tables pour toutes les valeurs de X comprises entre 0 et ^«^ (voir plus loin). Il suffît même d'effectuer les calculs pour les nombres compris entre I et ^c, puisqu'un nombre et son inverse ont des logarithmes égaux et de signes contraires.

Au lieu de considérer y comme fonction de x^ regardons x comme fonction de // :

.r = (nombre dont le logarithme est y), x = o{y)'

La table des logarithmes permet de calculer immédiatement la nouvelle fonction. Naturellement nous lui chercherons un titre plus court. 11 est fort remarquable que nous la connaissions déjà dans des cas particuliers, et que nous n'ayons qu'à généraliser un symbolisme déjà existant.

:9°, __ Soit e un nombre qui est encore à déterminer. J'ai toujours le droit de poser pour chaque nombre x et chaque logarithme y :

e ne restant pas nécessairement le même quand x varie.

Quel que soit le nombre x positif, il est bien évident que je peux trouver un nombre e qui , élevé à une puissance égale au logarithme connu y àe X ^ redonne le nombre x. Il n'est pas nécessaire de compliquer par la considération de nombres incommensurables. Je n'ai qu'à remplacer y par une fraction voisine de sa valeur exacte; je pourrai toujours après tâtonnements déterminer un nombre e.

Mais ce qui nest pas évident, c'est que la valeur trouvée pour e sera la même pour tous les nombres x et les loffarithmes y correspondants. De sorte que la fonction inverse du logarithme sera définie par la relation :

où e est un certain nombre à déterminer une fois pour toutes. Nous appellerons exponentielle la fonction e^. S°. — Soit Xj, X.2, x^, ... des nombres dont les logarithmes sont

On a : ?/j=ilogXi, y^=^\ogx^, ...;

y, + y,-\-...=\ogx,-\-logx.^-{-,..=\og{x,x.,x,...).

Passons aux fonctions inverses; supposons que le nombre e soit unique; montrons que les résultats obtenus dans cette hypothèse sont conformes : d'abord aux propriétés des logarithmes, ensuite aux règles de calcul des exposants.

On a : Xi = e^', x.-=e''% ...;

x^ iTo iC3 . . . = e^' e^* e"^ ...= e'" ^y^^^^- -,

Repassons aux logarithmes. Nous retrouvons la formule :

Naturellement le nombre <?, apparaissant comme unique pour les produits, l'est aussi pour les puissances. 4°. — Appliquons aux quotients. Soit :

y^ = \ogXi, y^ = log Xo ; î/i — y 2 = log x^ — log x, = log -7- . Admettons le nombre e unique ; on a :

Repassons aux logarithmes :

2/1— 2/2 = log (.ri : a:,).

On démontrerait inversement et par l'absurde que si le nombre e

n'est pas toujours le même, on ne vérifie pas les propriétés des logarithmes en appliquant les règles de calcul des exposants.

5*^. — Reste à trouver ce nombre e.

Il représente l'abscisse x = UB (iig. 152), telle que le logarithme soit égal à 1 :

11 faut donc chercher un point B tel qu'on ait :

^ aire AGDB = aire ÔICÂ = 1.

Peu importent les procédés qui ont elFectivement servi

Fig. i;

au calcul. On trouve par suite

(? = 2,718:j; log 2,7183==!.

194. Logarithmes naturels des nombres de 1 à 300 multipliés par 11) 000 ^^ 10.