Multiplication des quantités complexes

On a :

[m (cos [j. -\- i sin t^)] \ji (cos v -|- i sin v)J =m n [cos jy. cos v -j- i^ sin \j. sin v

-f- i (sin ;a cos v + cos -a sin v)] = mn [cos (p. -]- v) -\- i sin([x -j- v)], puisque , les calculs faits à la manière ordinaire , nous devons remplacer i- par — 1.

Ainsi le produit de deux vecteurs OM et ON est un vecteur OR dont le module nin est le produit des modules, et l'argument [J--]-^ 1^ somme des arguments.

Un vecteur quelconque OM peut donc être considéré comme un opérateur qui, appliqué à un vecteur 0^, le fait tourner dans le sens positif d'un angle égal à son argument, et l'allonge d'un nombre de fois égal à son module.

On vérifiera immédiatement qu'appliquer l'opérateur OMau vecteur ON revient au même

que d'appliquer l'opérateur ON au vecteur OM; la multiplication de deux vecteurs est donc une opération permutative, tout comme la multiplication algébrique [à la différence du Calcul des Quaternions).

Cette règle admet pour cas particulier la multiplication par i.

Posons : i=ir: t? (cos a-j- i sin a).

L'identification donne : ar=l, a=^T:'.2. Le module du vecteur i est 1 ; son argument est t: ! ^ ; il est représenté par le vecteur 01. Multiplier un vecteur par i, c'est le faire tourner de z ; 2 dans le sens positif.